任意の1次関数はどうやって表すの？ $f(x)=ax^2+bx+c$ が $f(0)=1$ で任意の1次関数 $g(x)$ に対して常に $\int_0^{1} f(x)g(x)dx=0$ が成り立つとき、 $a$ , $b$ , $c$ の値を求めよ

$f(x)=ax^2+bx+c$ で

$f(0)=1$ とわかっているから

$c$ の値はすぐに求められるまず

$c$ を求めたあとに

$a$ と

$b$ の値を求めていくが、ここからどうしていいかわからなくなるじつは解き方はとても簡単で、

$\int_0^{1} f(x)g(x)dx=0$ の

$f(x)$ に

$ax^2+bx+c$ を、

$g(x)$ に1次関数の式を代入して計算すると答えに辿りつけるしかし、1次関数の式ははっきりと書かれておらず、「任意の1次関数

$g(x)$ 」となっているでは任意の1次関数とはいったいどう表現したらいい？解き方の手順①まず

$c$ の値を求める②任意の1次関数

$g(x)$ を考える③

$f(x)$ と

$g(x)$ を

$\int_0^{1} f(x)g(x)dx=0$ に代入して計算する④恒等式の考え方で\(...

相加・相乗平均の使い方は？2つの正の数の和の最小値をもとめよう！ $a=log_2x,b=log_8yとする\\a+3b=6のとき\\x+yの最小値を求めよ$

対数を含む関数の最大値と最小値を求める方法はいくつかあるが、今回は相加・相乗平均を使って解く方法を説明する問題2つの正の数の和の最大値や最小値を求めたいとき

$「x>0、y>0、xyの値が一定の数」$ ならば、相加・相乗平均を使って解くと覚えようこの問題は、

$a=log_2x,b=log_8y$ 、対数の真数は正の数なので、

$x>0,y>0$ とわかっているしたがって、

$xy$ が一定の数字かどうかがわかればよい解き方の手順①底を変換する②

$a=log_2x$ と

$b=\frac{1}{3}log_2y$ を

$a+3b=6$ に代入して計算する③

$xy$ は一定の数とわかったので相加・相乗平均を使って最小値を求める目次1 問題を解き始める前に底を揃えておこう2

$a=log_2x$ と\(b=\frac{1}{3}lo...

三角関数の合成を使った最大値と最小値の求め方をマスターしよう $y=sin^2x+2sinxcosx\\+3cos^2x$ $(0≦x≦π)$ の最大値と最小値を求めなさい

半角の公式と2倍角の公式、さらに三角関数の合成を使って

$sin$ だけの式にしていく解き方の手順①

$sin^2x$ と

$3cos^2x$ のうちの

$cos^2x$ の部分を半角の公式を使って変形する②

$2sinxcosx$ を2倍角の公式を使って変形する③三角関数の合成をして

$sin$ だけの式にする④最大値と最小値を調べて答える ※この問題は

$θ=2x$ なので、公式の

$θ$ 部分は全て

$2x$ となる目次1

$sin^2x$ と

$3cos^2x$ を半角の公式を使って変形しよう2

$2sinxcosx$ を2倍角の公式を使って変形する3

$y=sin2x+cos2x+2$ を合成する4

$y=\sqrt{2}sin\left(2x+\frac{π}{4}\right)+2$

$(0≦x≦π)$ の最大値と最小値を考える前に5 あと...

3直線が三角形を作らない条件とは？3直線 $x+3y=2$ 、 $x+y=0$ 、 $ax−2y=−4$ が三角形を作らないような定数 $a$ を求めよ

3直線が三角形を作らない条件は①3直線が一点で交わるとき②3つのうち2つの直線が平行のときしたがって①または②のどちらかを満たしている

$a$ の値を考えれば良い ①と②のどちらから考えてもかまわないが、今回は①→②の順で考えていく解き方の手順①「交点の座標は連立方程式で求める」を利用して、3直線が一点で交わるときを考える②「一次関数が平行になるときは傾きが同じとき」を利用して

$x+3y=2$ と

$ax−2y=−4$ が平行になるときを考える③「一次関数が平行になるときは傾きが同じとき」を利用して

$x+y=0$ と

$ax−2y=−4$ が平行になるときを考える ※

$x+3y=2$ と

$x+y=0$ は絶対に平行にならない(理由は後述)ので考える必要はないよ目次1 3直線が交わる点の座標を考えよう2 連立方程式を計算して求めた値を\(ax−2y=−4\...

三角比の相互関係

1つの式の中に

$sinθ$ と

$cosθ$ が混在しているとき、とくに(sin^2θ)や(cos^2θ)というように2次数の項があるときは、

$sin^2θ+cos^2 θ=1$ を使って

$sinθ$ のみの式や

$cosθ$ のみの式に自在に変形することができますこのような

$sinθ$ 、

$cosθ$ 、

$tanθ$ の関係を「三角比の相互関係」といいます三角比の相互関係を使った問題の解説はこちらを確認してください目次1 三角比の相互関係2 三角比の相互関係の使い方2.1

$sin^2θ+cos^2 θ=1\\1+tan^2θ=\frac{1}{cos^2θ}$ 2.2

$tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}$ 3 式を変形する方法は他にもある三角比の相互関係

$三角比の相互関係$ \begin{eqnarray}sin^2θ+c...

「2次式で表して $t$ とおく方法」を使って関数の最大値と最小値を求めてみよう！関数 $f(θ)=\frac{1}{2}cos2θ+\frac{cosθ}{tan^2θ}\\−\frac{1}{tan^2θcosθ}$ $\displaystyle\left(0<θ<\frac{π}{2}\right)$ の最小値とそのときの $θ$ の値を求めよ

最大値、最小値を求める方法の一つに「2次式で表して

$t$ とおく」がある今回はこの方法を使って解くまた

$cosθ$ や

$tanθ$ が混在しているのでどちらか一つにまとめなければならない関数

$f(θ)$ の式の最初の項が

$cosθ$ なので、素直に

$cosθ$ に統一するように考えようあとは倍角の公式や加法定理など、知ってる形に少しずつ近づけていけばOK※

$cosθ$ と

$tanθ$ なので、三角関数の合成は使えないよ目次1 解き方の手順2

$\displaystyle\frac{cosθ}{tan^2θ}−\frac{1}{tan^2θcosθ}$ を変形して

$cosθ$ だけの式にしよう3 次は2倍角の公式を使って

$cos2θ$ を変形しよう4

$cosθ=t$ として2次関数にし、最小値を求める5

$t$ を

$cosθ$ に戻...

接線の方程式はどうやって求めたらいいの？ $y=x^3−4x$ と $(1,−3)$ における接線で囲まれた図形の面積を求めよ

問題の関数と接線をグラフにすると下の図のようになる積分するだけで簡単に面積は求められるが、上図の黒い点、つまり接点の座標

$(1,−3)$ だけわかっていても、上図の赤い点、

$y=x^3−4x$ と接線の方程式の交点の座標がわからなければ解くことができない※交点の座標は

$x$ 座標がわかればOK よって、まずは接線の方程式を求めて

$y=x^3−4x$ との交点の座標を求めるところから始めよう問題を解く手順①微分係数から接線の方程式を求める②

$y=x^3−4x$ と接線の交点の座標(

$x$ 座標のみ)を求める③積分して面積を求める目次1

$y=x^3−4x$ と

$(1,−3)$ における接線の方程式を求めよう2 接線の方程式がわかったので

$y=x^3−4x$ と接線の交点の座標を求めよう3 あとは積分するだけ

$y=x^3−4x$ と\((1,−...

複雑な式も半角の公式・2倍角の公式・三角関数の合成を使えばすぐに解ける！ $0≦x≦2π$ のとき次の方程式 $2\sqrt{3}cos^2x−2sinxcosx\\=\sqrt{3}$ を解きなさい

目次1 ひらめきで解こうとせずにパターンを暗記しよう2

$cos^2x$ を

$cos^2\frac{2x}{2}$ と考え、半角の公式を使って変形する3

$2sinxcosx$ を2倍角の公式を使って変形する4 1つの式の中に

$sin$ と

$cos$ が混在しているため、三角関数の合成を行い、

$sin$ だけの式にする5 合成ができたので

$x$ の値を考えていく6 まだ解答欄に書ける答えじゃないひらめきで解こうとせずにパターンを暗記しようこの問題は半角の公式と2倍角の公式、そして三角関数の合成を使って式を変形していきます一度でスッキリ式変形ができる問題ではないので、初見で解くのはまず無理でしょうこのような問題は、類題をたくさん解き、パターンを覚えることで対応できるようになります発想やひらめきではなく、パターン暗記と繰り返し練習が数学の勉強です ...

式変形をしてから代入するのがポイント！0でない複素数 $α$ , $β$ が等式 $(α^2+3αβ)^2−9β^4=0$ を満たすとする。 $t=\frac{α}{β}$ とおくとき、 $t$ を求めよ

$t=\frac{α}{β}$ のままでは

$t$ の値を求められないので変形する

$β=▲$ の形に変形するのは手間なので、素直に

$α=●$ の形にする変形して元の式に代入後、2次方程式の形になるまで式を整理することがポイント解き方の手順①

$t=\frac{α}{β}$ を

$α=●$ の形に変形する②変形して求めた

$α$ の値を等式

$(α^2+3αβ)^2−9β^4=0$ に代入する③式を整理する(2次方程式になる)④因数分解して

$t$ の値を求める目次1 まずは

$t=\frac{α}{β}$ を変形しよう2

$α=tβ$ を等式

$(α^2+3αβ)^2−9β^4=0$ に代入して式を整理する3 2次方程式になったので、因数分解して

$t$ の値を求めるまずは

$t=\frac{α}{β}$ を変形しよう \(t=\frac{α}{β}\...

グラフ上の三角形の面積を求めてみよう!関数 $y=－x$ , $y=x$ , $y=\sqrt{1＋x^2}$ のグラフをそれぞれ $l$ , $m$ , $C$ とする。また、 $C$ 上の点( $a$ , $\sqrt{1＋a^2})$ における接線を $n$ とする。 $n$ と $l$ との交点を $P$ とし、 $P$ の $x$ 座標を $s$ とする。また、 $n$ と $m$ の交点を $Q$ とし、 $Q$ の $x$ 座標を $t$ とする。 $o$ を原点とする△OPQの面積を求めよ

この問題を解くためには、まず点Pと点Qの

$x$ 座標を

$a$ を用いて表したものが必要になる Pと点Qの

$x$ 座標を

$a$ を用いて表す方法はこちらを確認問題を解く手順①PとQの座標を求める②PとQの座標が座標平面上のどの辺りにあるのか確認する③

$l$ と

$m$ の傾きをかけ算すると-1なので、△OPQはPO⊥QOの直角三角形になることを確認する④POとQOの長さを三平方の定理で求める(POとQOが底辺と高さになる)⑤三角形の面積の公式

$底辺×高さ×\frac{1}{2}$ に当てはめて計算する点Pと点Qの座標を

$a$ を用いて表すとP(

$a-\sqrt{1+a^2}$ ,

$-(a-\sqrt{1+a^2})$ )Q(

$a+\sqrt{1+a^2}$ ,

$(a-\sqrt{1+a^2})$ )※PとQの

$y$ 座標は、

$x$ 座標を\...