和の記号 $Σ$ の性質

$①\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)=\sum_{k=1}^{n}a_k+b_k$

$②\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k-b_k)=\sum_{k=1}^{n}a_k-b_k$

$③\displaystyle\sum_{k=1}^{n}pa_k=p\sum_{k=1}^{n}a_k$

数列の和の公式

必ず覚えなければならない数列の和の公式です「忘れてしまったから確認したい」という人向けに、簡単に公式だけを載せています数列の和の公式

$①\displaystyle\sum_{k=1}^{n}c=nc$

$②\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1)$

$③\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

$④\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=\left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2$

$⑤\displaystyle\sum_{k=1}^{n}r^{k-1}=\frac{1-r^n}{1-r}=\frac{r^n-1}{r-1}※r≠1$

数列Σの式のまとめ方、なぜ因数分解をした形で答える必要がある？ $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(k^2-2k)$ の和を求めよ

数列の和を求める問題を解いて答え合わせをすると、模範解答は因数分解した形で書かれている… ここで、因数分解していない自分の解答は間違いなのか、それとも因数分解していなくても正解として良いのか悩む人も多いでしょう絶対に因数分解した形でなければならないのか、本当はどちらでもいいのか、そもそもなぜ模範解答は因数分解した形で答えているのか、これらの疑問を解消していきましょう ※数列Σの式を因数分解してまとめる方法をさ更に知りたい方はこちら目次1 実は因数分解した形でなくても正解としてもらえる2 因数分解した形で答えるべき理由とは3 数列の和を因数分解するコツは通分と共通因数4 練習問題

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(k^2-2k)$ の和を求めよ5 和の記号

$Σ$ の性質を利用して、\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(...

数学の成績が上がる勉強法は？数学の正しい勉強方法を実践すれば成績は確実に上がります

まず最初に伝えておきますが、数学には楽して簡単に成績が上がるような魔法の方法はありません地道に泥臭く何度も繰り返し問題を解き進めることが成績アップへの最短ルートです目次1 問題集は最低３周、繰り返し解く2 問題は１問解くごとに答え合わせをしよう3 問題を解き終えたらA〜Dの判定をテキストの問題番号の横に書き込む4 １周目と２周目は普通に全て解く5 ３周目は１周目と２周目で書き込んだ判定を利用して解く6 ４周目以降は間違えた問題を間違えなくなるまで解く7 数学はひらめきではなく経験とパターンの理解で解く8 数学の解き方は料理と同じ9 正解した問題も必ず解説を読もう問題集は最低３周、繰り返し解く解法を教えてもらった瞬間に問題が完璧に解けるような能力の持ち主ならば、きっとこの話は読んでいないでしょうスポーツをしていて「ルールを知っている」と「上手くプレイできる」が...

$cosθ+2=0$ の続きは？ $0≦θ≦2π$ のとき、方程式 $2sin^2θ-3cosθ=0$ を解きなさい

この問題は普通の方程式なので、特に複雑な計算をしたり、「思いつかないよ！」というような解法を使ったりはしないしないけれども途中で大きな疑問を持ち「やっぱり数学はわからない」となっちゃいそう疑問を解決するために以下の解法をしっかり確認しよう解き方の手順①三角比の相互関係を使って

$cos$ だけの式に変形しよう②因数分解をして方程式を解こう③(0≦θ≦2π\)の範囲から

$θ$ の値を答えよう目次1 三角比の相互関係を使って

$cos$ だけの式に変形しよう2 因数分解をして方程式を解こう3

$2cosθ-1=0$ の解を求める4

$cosθ+2=0$ の解は求めなくていいの？5

$cosθ+2=0$ が解なしとなる理由6 答え三角比の相互関係を使って

$cos$ だけの式に変形しようこの問題は

$sin$ と

$cos$ が混在しているので、三角比の...

任意の1次関数はどうやって表すの？ $f(x)=ax^2+bx+c$ が $f(0)=1$ で任意の1次関数 $g(x)$ に対して常に $\int_0^{1} f(x)g(x)dx=0$ が成り立つとき、 $a$ , $b$ , $c$ の値を求めよ

$f(x)=ax^2+bx+c$ で

$f(0)=1$ とわかっているから

$c$ の値はすぐに求められるまず

$c$ を求めたあとに

$a$ と

$b$ の値を求めていくが、ここからどうしていいかわからなくなるじつは解き方はとても簡単で、

$\int_0^{1} f(x)g(x)dx=0$ の

$f(x)$ に

$ax^2+bx+c$ を、

$g(x)$ に1次関数の式を代入して計算すると答えに辿りつけるしかし、1次関数の式ははっきりと書かれておらず、「任意の1次関数

$g(x)$ 」となっているでは任意の1次関数とはいったいどう表現したらいい？解き方の手順①まず

$c$ の値を求める②任意の1次関数

$g(x)$ を考える③

$f(x)$ と

$g(x)$ を

$\int_0^{1} f(x)g(x)dx=0$ に代入して計算する④恒等式の考え方で\(...

相加・相乗平均の使い方は？2つの正の数の和の最小値をもとめよう！ $a=log_2x,b=log_8yとする\\a+3b=6のとき\\x+yの最小値を求めよ$

対数を含む関数の最大値と最小値を求める方法はいくつかあるが、今回は相加・相乗平均を使って解く方法を説明する問題2つの正の数の和の最大値や最小値を求めたいとき

$「x>0、y>0、xyの値が一定の数」$ ならば、相加・相乗平均を使って解くと覚えようこの問題は、

$a=log_2x,b=log_8y$ 、対数の真数は正の数なので、

$x>0,y>0$ とわかっているしたがって、

$xy$ が一定の数字かどうかがわかればよい解き方の手順①底を変換する②

$a=log_2x$ と

$b=\frac{1}{3}log_2y$ を

$a+3b=6$ に代入して計算する③

$xy$ は一定の数とわかったので相加・相乗平均を使って最小値を求める目次1 問題を解き始める前に底を揃えておこう2

$a=log_2x$ と\(b=\frac{1}{3}lo...

三角関数の合成を使った最大値と最小値の求め方をマスターしよう $y=sin^2x+2sinxcosx\\+3cos^2x$ $(0≦x≦π)$ の最大値と最小値を求めなさい

半角の公式と2倍角の公式、さらに三角関数の合成を使って

$sin$ だけの式にしていく解き方の手順①

$sin^2x$ と

$3cos^2x$ のうちの

$cos^2x$ の部分を半角の公式を使って変形する②

$2sinxcosx$ を2倍角の公式を使って変形する③三角関数の合成をして

$sin$ だけの式にする④最大値と最小値を調べて答える ※この問題は

$θ=2x$ なので、公式の

$θ$ 部分は全て

$2x$ となる目次1

$sin^2x$ と

$3cos^2x$ を半角の公式を使って変形しよう2

$2sinxcosx$ を2倍角の公式を使って変形する3

$y=sin2x+cos2x+2$ を合成する4

$y=\sqrt{2}sin\left(2x+\frac{π}{4}\right)+2$

$(0≦x≦π)$ の最大値と最小値を考える前に5 あと...

3直線が三角形を作らない条件とは？3直線 $x+3y=2$ 、 $x+y=0$ 、 $ax−2y=−4$ が三角形を作らないような定数 $a$ を求めよ

3直線が三角形を作らない条件は①3直線が一点で交わるとき②3つのうち2つの直線が平行のときしたがって①または②のどちらかを満たしている

$a$ の値を考えれば良い ①と②のどちらから考えてもかまわないが、今回は①→②の順で考えていく解き方の手順①「交点の座標は連立方程式で求める」を利用して、3直線が一点で交わるときを考える②「一次関数が平行になるときは傾きが同じとき」を利用して

$x+3y=2$ と

$ax−2y=−4$ が平行になるときを考える③「一次関数が平行になるときは傾きが同じとき」を利用して

$x+y=0$ と

$ax−2y=−4$ が平行になるときを考える ※

$x+3y=2$ と

$x+y=0$ は絶対に平行にならない(理由は後述)ので考える必要はないよ目次1 3直線が交わる点の座標を考えよう2 連立方程式を計算して求めた値を\(ax−2y=−4\...

三角比の相互関係

1つの式の中に

$sinθ$ と

$cosθ$ が混在しているとき、とくに(sin^2θ)や(cos^2θ)というように2次数の項があるときは、

$sin^2θ+cos^2 θ=1$ を使って

$sinθ$ のみの式や

$cosθ$ のみの式に自在に変形することができますこのような

$sinθ$ 、

$cosθ$ 、

$tanθ$ の関係を「三角比の相互関係」といいます三角比の相互関係を使った問題の解説はこちらを確認してください目次1 三角比の相互関係2 三角比の相互関係の使い方2.1

$sin^2θ+cos^2 θ=1\\1+tan^2θ=\frac{1}{cos^2θ}$ 2.2

$tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}$ 3 式を変形する方法は他にもある三角比の相互関係

$三角比の相互関係$ \begin{eqnarray}sin^2θ+c...