数学公式

和の記号Σの性質

数列の和の記号Σの性質です 「思い出せそうで思い出せない!」という人のために、簡単に性質だけ書いておきます 和の記号(Σ)の性質を使った問題などは問題解説で紹介しますので、そちらを参考にしてください 和の記号Σの性質 ①\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k+b_k)=\sum_{k=1}^{n}a_k+b_k ②\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k-b_k)=\sum_{k=1}^{n}a_k-b_k ③\displaystyle\sum_{k=1}^{n}pa_k=p\sum_{k=1}^{n}a_k
数学公式

数列の和の公式

必ず覚えなければならない数列の和の公式です 「忘れてしまったから確認したい」という人向けに、簡単に公式だけを載せています 数列の和の公式 ①\displaystyle\sum_{k=1}^{n}c=nc ②\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k=\frac{1}{2}n(n+1) ③\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) ④\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k^3=\left\{\frac{1}{2}n(n+1)\right\}^2 ⑤\displaystyle\sum_{k=1}^{n}r^{k-1}=\frac{1-r^n}{1-r}=\frac{r^n-1}{r-1}※r≠1
数列

数列Σの式のまとめ方、なぜ因数分解をした形で答える必要がある?\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(k^2-2k)の和を求めよ

数列の和を求める問題を解いて答え合わせをすると、模範解答は因数分解した形で書かれている… ここで、因数分解していない自分の解答は間違いなのか、それとも因数分解していなくても正解として良いのか悩む人も多いでしょう 絶対に因数分解した形でなければならないのか、本当はどちらでもいいのか、そもそもなぜ模範解答は因数分解した形で答えているのか、これらの疑問を解消していきましょう ※数列Σの式を因数分解してまとめる方法をさ更に知りたい方はこちら 目次1 実は因数分解した形でなくても正解としてもらえる2 因数分解した形で答えるべき理由とは3 数列の和を因数分解するコツは通分と共通因数4 練習問題\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(k^2-2k)の和を求めよ5 和の記号Σの性質を利用して、\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(...
きれいな青空

数学の成績が上がる勉強法は?数学の正しい勉強方法を実践すれば成績は確実に上がります

まず最初に伝えておきますが、数学には楽して簡単に成績が上がるような魔法の方法はありません 地道に泥臭く何度も繰り返し問題を解き進めることが成績アップへの最短ルートです 目次1 問題集は最低3周、繰り返し解く2 問題は1問解くごとに答え合わせをしよう3 問題を解き終えたらA〜Dの判定をテキストの問題番号の横に書き込む4 1周目と2周目は普通に全て解く5 3周目は1周目と2周目で書き込んだ判定を利用して解く6 4周目以降は間違えた問題を間違えなくなるまで解く7 数学はひらめきではなく経験とパターンの理解で解く8 数学の解き方は料理と同じ9 正解した問題も必ず解説を読もう 問題集は最低3周、繰り返し解く 解法を教えてもらった瞬間に問題が完璧に解けるような能力の持ち主ならば、きっとこの話は読んでいないでしょう スポーツをしていて「ルールを知っている」と「上手くプレイできる」が...
三角関数

cosθ+2=0の続きは?0≦θ≦2πのとき、方程式2sin^2θ-3cosθ=0を解きなさい

この問題は普通の方程式なので、特に複雑な計算をしたり、「思いつかないよ!」というような解法を使ったりはしない しないけれども途中で大きな疑問を持ち「やっぱり数学はわからない」となっちゃいそう 疑問を解決するために以下の解法をしっかり確認しよう 解き方の手順①三角比の相互関係を使ってcosだけの式に変形しよう②因数分解をして方程式を解こう③(0≦θ≦2π\)の範囲からθの値を答えよう 目次1 三角比の相互関係を使ってcosだけの式に変形しよう2 因数分解をして方程式を解こう3 2cosθ-1=0の解を求める4 cosθ+2=0の解は求めなくていいの?5 cosθ+2=0が解なしとなる理由6 答え 三角比の相互関係を使ってcosだけの式に変形しよう この問題はsincosが混在しているので、三角比の...
微分法と積分法

任意の1次関数はどうやって表すの?f(x)=ax^2+bx+cf(0)=1で任意の1次関数g(x)に対して常に \int_0^{1} f(x)g(x)dx=0が成り立つとき、a,b,cの値を求めよ

f(x)=ax^2+bx+cf(0)=1とわかっているからcの値はすぐに求められる まずcを求めたあとにabの値を求めていくが、ここからどうしていいかわからなくなる じつは解き方はとても簡単で、\int_0^{1} f(x)g(x)dx=0f(x)ax^2+bx+cを、g(x)に1次関数の式を代入して計算すると答えに辿りつける しかし、1次関数の式ははっきりと書かれておらず、「任意の1次関数g(x)」となっている では任意の1次関数とはいったいどう表現したらいい? 解き方の手順①まずcの値を求める②任意の1次関数g(x)を考える③f(x)g(x)\int_0^{1} f(x)g(x)dx=0に代入して計算する④恒等式の考え方で\(...
指数関数・対数関数

相加・相乗平均の使い方は?2つの正の数の和の最小値をもとめよう!a=log_2x,b=log_8yとする\\a+3b=6のとき\\x+yの最小値を求めよ

対数を含む関数の最大値と最小値を求める方法はいくつかあるが、今回は相加・相乗平均を使って解く方法を説明する 問題2つの正の数の和の最大値や最小値を求めたいとき「x>0、y>0、xyの値が一定の数」ならば、相加・相乗平均を使って解くと覚えよう この問題は、a=log_2x,b=log_8y、対数の真数は正の数なので、x>0,y>0とわかっている したがって、xyが一定の数字かどうかがわかればよい 解き方の手順①底を変換する②a=log_2xb=\frac{1}{3}log_2ya+3b=6に代入して計算する③xyは一定の数とわかったので相加・相乗平均を使って最小値を求める 目次1 問題を解き始める前に底を揃えておこう2 a=log_2xと\(b=\frac{1}{3}lo...
三角関数

三角関数の合成を使った最大値と最小値の求め方をマスターしようy=sin^2x+2sinxcosx\\+3cos^2x(0≦x≦π)の最大値と最小値を求めなさい

半角の公式と2倍角の公式、さらに三角関数の合成を使ってsinだけの式にしていく 解き方の手順①sin^2x3cos^2xのうちのcos^2xの部分を半角の公式を使って変形する②2sinxcosxを2倍角の公式を使って変形する③三角関数の合成をしてsinだけの式にする④最大値と最小値を調べて答える ※この問題はθ=2xなので、公式のθ部分は全て2xとなる 目次1 sin^2x3cos^2xを半角の公式を使って変形しよう2 2sinxcosxを2倍角の公式を使って変形する3 y=sin2x+cos2x+2を合成する4 y=\sqrt{2}sin\left(2x+\frac{π}{4}\right)+2(0≦x≦π)の最大値と最小値を考える前に5 あと...
図形と方程式

3直線が三角形を作らない条件とは?3直線x+3y=2x+y=0ax−2y=−4が三角形を作らないような定数aを求めよ

3直線が三角形を作らない条件は①3直線が一点で交わるとき②3つのうち2つの直線が平行のとき したがって①または②のどちらかを満たしているaの値を考えれば良い ①と②のどちらから考えてもかまわないが、今回は①→②の順で考えていく 解き方の手順①「交点の座標は連立方程式で求める」を利用して、3直線が一点で交わるときを考える②「一次関数が平行になるときは傾きが同じとき」を利用してx+3y=2ax−2y=−4が平行になるときを考える③「一次関数が平行になるときは傾きが同じとき」を利用してx+y=0ax−2y=−4が平行になるときを考える ※x+3y=2x+y=0は絶対に平行にならない(理由は後述)ので考える必要はないよ 目次1 3直線が交わる点の座標を考えよう2 連立方程式を計算して求めた値を\(ax−2y=−4\...
数学公式

三角比の相互関係

1つの式の中にsinθcosθが混在しているとき、とくに(sin^2θ)や(cos^2θ)というように2次数の項があるときは、sin^2θ+cos^2 θ=1を使ってsinθのみの式やcosθのみの式に自在に変形することができます このようなsinθcosθtanθの関係を「三角比の相互関係」といいます 三角比の相互関係を使った問題の解説はこちらを確認してください 目次1 三角比の相互関係2 三角比の相互関係の使い方2.1 sin^2θ+cos^2 θ=1\\1+tan^2θ=\frac{1}{cos^2θ}2.2 tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}3 式を変形する方法は他にもある 三角比の相互関係 三角比の相互関係 \begin{eqnarray}sin^2θ+c...