三角関数

複雑な式も半角の公式・2倍角の公式・三角関数の合成を使えばすぐに解ける!\(0≦x≦2π\)のとき次の方程式\(2\sqrt{3}cos^2x−2sinxcosx\\=\sqrt{3}\)を解きなさい

目次1 ひらめきで解こうとせずにパターンを暗記しよう2 \(cos^2x\)を\(cos^2\frac{2x}{2}\)と考え、半角の公式を使って変形する3 \(2sinxcosx\)を2倍角の公式を使って変形する4 1つの式の中に\(sin\)と\(cos\)が混在しているため、三角関数の合成を行い、\(sin\)だけの式にする5 合成ができたので\(x\)の値を考えていく6 まだ解答欄に書ける答えじゃない ひらめきで解こうとせずにパターンを暗記しよう この問題は半角の公式と2倍角の公式、そして三角関数の合成を使って式を変形していきます 一度でスッキリ式変形ができる問題ではないので、初見で解くのはまず無理でしょう このような問題は、類題をたくさん解き、パターンを覚えることで対応できるようになります 発想やひらめきではなく、パターン暗記と繰り返し練習が数学の勉強です ...
複素数と方程式

式変形をしてから代入するのがポイント!0でない複素数\(α\),\(β\)が等式\((α^2+3αβ)^2−9β^4=0\)を満たすとする。\(t=\frac{α}{β}\)とおくとき、\(t\)を求めよ。

\(t=\frac{α}{β}\)のままでは\(t\)の値を求められないので変形する\(β=▲\)の形に変形するのは手間なので、素直に\(α=●\)の形にする 変形して元の式に代入後、2次方程式の形になるまで式を整理することがポイント 解き方の手順①\(t=\frac{α}{β}\)を\(α=●\)の形に変形する②変形して求めた\(α\)の値を等式\((α^2+3αβ)^2−9β^4=0\)に代入する③式を整理する(2次方程式になる)④因数分解して\(t\)の値を求める 目次1 まずは\(t=\frac{α}{β}\)を変形しよう2 \(α=tβ\)を等式\((α^2+3αβ)^2−9β^4=0\)に代入して式を整理する3 2次方程式になったので、因数分解して\(t\)の値を求める まずは\(t=\frac{α}{β}\)を変形しよう \(t=\frac{α}{β}\...
大学入試過去問

グラフ上の三角形の面積を求めてみよう!関数\(y=-x\),\(y=x\),\(y=\sqrt{1+x^2}\)のグラフをそれぞれ\(l\),\(m\),\(C\)とする。また、\(C\)上の点(\(a\),\(\sqrt{1+a^2})\)における接線を\(n\)とする。\(n\)と\(l\)との交点を\(P\)とし、\(P\)の\(x\)座標を\(s\)とする。また、\(n\)と\(m\)の交点を\(Q\)とし、\(Q\)の\(x\)座標を\(t\)とする。\(o\)を原点とする△OPQの面積を求めよ

この問題を解くためには、まず点Pと点Qの\(x\)座標を\(a\)を用いて表したものが必要になる Pと点Qの\(x\)座標を\(a\)を用いて表す方法はこちらを確認 問題を解く手順①PとQの座標を求める②PとQの座標が座標平面上のどの辺りにあるのか確認する③\(l\)と\(m\)の傾きをかけ算すると-1なので、△OPQはPO⊥QOの直角三角形になることを確認する④POとQOの長さを三平方の定理で求める(POとQOが底辺と高さになる)⑤三角形の面積の公式\(底辺×高さ×\frac{1}{2}\)に当てはめて計算する 点Pと点Qの座標を\(a\)を用いて表すとP(\(a-\sqrt{1+a^2}\),\(-(a-\sqrt{1+a^2})\))Q(\(a+\sqrt{1+a^2}\),\((a-\sqrt{1+a^2})\))※PとQの\(y\)座標は、\(x\)座標を\...
大学入試過去問

関数\(y=-x\),\(y=x\),\(y=\sqrt{1+x^2}\)のグラフをそれぞれ\(l\),\(m\),\(C\)とする。また、\(C\)上の点(\(a\),\(\sqrt{1+a^2})\)における接線を\(n\)とする。\(n\)と\(l\)との交点を\(P\)とし、\(P\)の\(x\)座標を\(s\)とする。また、\(n\)と\(m\)の交点を\(Q\)とし、\(Q\)の\(x\)座標を\(t\)とする。\(s\)および\(t\)を\(a\)を用いた式で表せ

\(n\)と\(l\)との交点\(P\)、\(n\)と\(m\)の交点を\(Q\)→交点の座標を考えたいが、\(n\)は式がはっきりとわかっていないので、問題を解き始める前に計算をしておく必要がある。 解き方の手順①まず\(n\)の式を求める②点Pの\(x\)座標を\(n\)と\(l\)に代入して\(y\)座標を求める③ふたつの\(y\)座標をイコールで繋いで方程式を作る④作った方程式を解く⑤Qも同様にして解く \(n\)は\(C\)上の点(\(a\),\(\sqrt{1+a^2}\))における接線なので、接線を求める公式\(y-f(a)=f'(a)\cdot(x-a)\)を使えば\(n\)は求められる。よって、\(C\)の式と\(C\)を微分した式を求め、公式に当てはめて\(n\)を求めよう。 \(C\)の式\(f(x)=(1+x^2)^{\frac{1}{2}}\...
三角関数

三角関数の合成を使いかたを覚えよう\(0≦x<2π\)のとき\(y=sinx+\sqrt{3}cosx\)の最大値と最小値を求めよ

問題を解く手順①三角関数の合成をする②範囲を確認する③最大値と最小値を見つける 目次1 まず最初に三角関数の合成をする2 最大値と最小値を考える前に範囲を確認しよう3 \(x\)の範囲を\(\frac{π}{3}\)だけずらそう4 \(\frac{π}{3}≦x+\frac{π}{3}<\frac{7}{3}π\)の範囲で\(y=2sin(x+\frac{π}{3})\)の最大値と最小値を探そう5 まだ答えじゃない\(\frac{π}{3}\)加えた分を元に戻そう6 答え まず最初に三角関数の合成をする 1つの式の中に\(sin\)と\(cos\)があるので三角関数の合成を行い、\(sin\)だけの式にすると続きを考えやすくなるよ 「三角関数の合成」の方法 この合成の式に当てはめて計算すると… \begin{eqnarray}y&=&\sqrt{1^2...
数学公式

半角の公式

\(sin^2θ\)や\(cos^2θ\)など2次数の項は、半角の公式を使用することで、\(sin2θ\)や\(cos2θ\)などに変形することができます 三角関数半角の公式を使って解く問題の解説は以下を確認してください 半角の公式を使って解く問題① 半角の公式を使って解く問題② 目次1 半角の公式2 2倍角の公式と3倍角の公式3 おまけ:加法定理 半角の公式 \[半角の公式\] \begin{eqnarray}sin^2\frac{θ}{2}=\frac{1-cosθ}{2}\end{eqnarray} \begin{eqnarray}cos^2\frac{θ}{2}=\frac{1+cosθ}{2}\end{eqnarray} \begin{eqnarray}tan^2\frac{θ}{2}=\frac{1-cosθ}{1+cosθ}\end{eqnarray} ...
数学公式

3倍角の公式

問題文の中に\(sin3θ\)や\(cos3θ\)など、\(θ\)が3倍になっているものがあれば、まず初めに3倍角の公式を使って式を変形します 3倍角の公式は滅多に使わないから覚えなくてもいいと考える人もいますが、数Ⅲの積分では頻繁に使用しますので、必ず覚えるようにしましょう 三角関数3倍角の公式を使った問題の解説はこちらを確認してください 目次1 3倍角の公式2 半角の公式と2倍角の公式3 おまけ:加法定理 3倍角の公式 \[3倍角の公式\] \begin{eqnarray}sin3θ=-4sin^3θ+3sinθ\end{eqnarray} \begin{eqnarray}sin3θ=4sin^3θ-3sinθ\end{eqnarray} 半角の公式と2倍角の公式 3倍角の公式だけでなく、半角の公式や2倍角の公式もよく使用します まだ覚えられていない人は、3倍角の...
数学公式

2倍角の公式

\(y=cos\color{red}{2x}-2sin\color{red}{x}-1\)のように、\(2θ\)と\(θ\)が混在した式では、倍角の公式で角を統一します 三角関数2倍角の公式を使って解く問題の解説はこちらを確認してください 目次1 2倍角の公式2 半角の公式と3倍角の公式3 おまけ:加法定理 2倍角の公式 \[2倍角の公式\] \begin{eqnarray}sin2θ=&2sinθcosθ\end{eqnarray} \begin{eqnarray}cos2θ=&cos^2θ-sin^2θ\\=&2cos^2θ-1\\=&1-2sin^2θ\end{eqnarray} \begin{eqnarray}tan2θ=&\frac{2tanθ}{1-tan^2θ}\end{eqnarray} 半角の公式と3倍角の公式...
数学公式

「三角関数の合成」の方法を覚えよう

三角関数には、ひとつの式の中に\(sin\)と\(cos\)が混在している問題があります このような問題は、そのままの状態で解き進めて答えを導くのは至難の業のため、\(sin\)だけ、もしくは\(cos\)だけの式に変形してから解き進めます \(sin\)だけ、もしくは\(cos\)だけの式に変形する方法はいくつかありますが、その中の一つ、三角関数の合成の方法をは覚えられていますか? 今回は「三角関数の合成」の方法を詳しく説明していきます 「三角関数の合成」を使った問題の解説はこちらを確認してください 目次1 三角関数の合成とは2 三角関数の合成を行う問題の例3 三角関数の合成を使わない問題例4 三角関数の合成は\(cos\)に変形する方法もある 三角関数の合成とは 冒頭でも書きましたが、三角関数の合成とは、ひとつの式の中に\(sin\)と\(cos\)が混在している...
三角関数

三角不等式の解き方がわからない人必見!\(0≦x<2\)のとき次の不等式\(\sqrt{2}(sinx+cosx)>1\)を解きなさい

解き方の手順①式を展開する②三角関数の合成を行い、さらに式を整理する③当てはまる\(x\)の範囲を考える 目次1 まずは式を展開する2 次は三角関数の合成をしよう3 合成したら両辺に\(\frac{1}{2}\)を掛けて式を簡単にしよう4 \(x\)の範囲をもう一度確認しておこう5 範囲のなかから答えを考えよう6 まだ解答欄に答えを書かないで7 \(sinx+\frac{π}{4}\)を\(sinx\)に戻そう8 答え まずは式を展開する \(\sqrt{2}(sinx+cosx)>1\)のまま\(x\)の範囲を考えることはほぼ不可能まずはひとつずつ丁寧に、式を展開するところから始めよう \begin{eqnarray}\sqrt{2}(sinx+cosx)&>&1\\\sqrt{2}sinx+\sqrt{2}cosx&>&a...