場合の数と確率

順列\(P\)と組み合わせ\(C\)の違いと見分け方

数学が得意な人や、すでに何度も繰り返し練習を積み重ねた人にとっては、順列\(P\)と組み合わせ\(C\)は全く別物、コーヒーと緑茶レベルで違うと認識できていると思いますしかし、まだ習いたての人たちの中には「順列\(P\)と組み合わせ\(C\)のどちらを使うのか迷う」という人もいるでしょうそこで、順列\(P\)と組み合わせ\(C\)の違いと使い分けを詳しく説明しています順列\(P\)とは順列の\(P\)は英語の\(permutation\)(パーミュテーション)の頭文字ですそして\(permutation\)(パーミュテーション)の意味は「順列,交換,置換,並べ換え」このことから順列\(P\)は、1列に並べた物や人物、数字を並べ替えて、その並び替えすべてのパターンが何通りあるかを求めたいときに使います組み合わせ\(C\) 組み合わせの\(C\)は英語の\(...

２次関数

２次関数を求める問題の答えの形―\(y=a(x-p)^2+q\)、\(y=ax^2+bx+c\)、\(y=a(x-α)(x-β)\)のどれを選ぶ？―

２次関数を求めよ、という問題を解いて答え合わせをすると、模範解答は自分の答えと違う形で書かれている… ここで、模範解答と違う自分の解答は間違いなのか、それともどんな形で答えても正解として良いのか悩む人も多いでしょう絶対に模範解答通りの形でなければならないのか、本当はどちらでもいいのか、そもそもなぜ模範解答はいくつかある答えの形式から、「その形」を選んで答えているのか、これらの疑問を解消していきます模範解答通りの書き方でなくても正解としてもらえる２次関数の式を求める問題の答えは、次の３通りのうちのどれかで書かれています結論から言うと、上記３つの形のどれかで答えていれば、その問題は正解となります「どれでもいいなら、自分の好きな形で答えてもいいよね」と言いたくなる気持ちもわかりますが、模範解答で選ばれてる形には「その問題を解くにあたって、最も答えを求めやすい形だか...

場合の数と確率

６の倍数や９の倍数など…倍数の判定方法

場合の数や確率の問題で、６の倍数や９の倍数を問われたとき、その条件をすぐに思い浮かべられますか？３の倍数・４の倍数になる条件はこちら６の倍数になる条件６の倍数になる条件ある数が２の倍数かつ３の倍数であれば、その整数は６の倍数である上記の条件に当てはまっていれば、その整数は６の倍数と言い切ることができますもし、ある数が\(774\)ならば\(774\)→一の位が偶数なので２の倍数かつ各位の和が\(18\)(\(7+7+4=18\))で３の倍数よって\(774\)は６の倍数ですまた、\(878\)ならば\(878\)→一の位が偶数なので２の倍数、しかし、各位の和が\(23\)(\(8+7+8=23\))となり３の倍数ではありませんよって\(878\)は６の倍数ではありませんこの条件を使うと、1〜7までの数字から異なる3つの数字を取り出し３桁の３の倍数を作ると...

数学公式

接線の方程式の求め方(微分)

接線の方程式関数\(y=f(x)\)のグラフ上の点\((a,f(a))\)における接線、つまり、接点を通る直線の方程式は \(y−f(a)=f'(a)(x−a)\) と表すことができる接線の方程式を利用する問題の例直線の方程式を求める公式\(y−f(a)=m(x−a)\)で関数\(f(x)\)の\(x\)の増加量が限りなく\(0\)に近い直線(接点と考えて良い)の傾き\(m\)、つまり微分係数が接線の方程式の傾きになるよって、\(m=f'(x)\) グラフ上にある点(接点)を通る接線の方程式の求め方グラフ上にある点(接点)を通る接線の方程式を求める方法 ①まず微分する②微分した式に接点の\(x\)座標を代入して微分係数を求める→接線の方程式の傾き③接線の方程式に接点の座標と②で求めた微分係数を代入して完成 (例)\(y=x^3−4\)のグラフ上の点\((1,...

各項が等差数列の和になっている数列の一般項\(a_n\)と和\(S_n\)の\(Σ\)の式の作り方

数列の一般項や和\(Σ\)の式が作れない、解説見てもよくわからない、仮に解説が理解できたとしても「そんなの思いつかない」「閃かない」というような内容で困る… でも高校数学の問題は「思いつき」や「閃き」で解くものではなく、公式や仕組みを理解し、そして「解法のパターンを暗記」すれば簡単に解けます今回は各項が等差数列の和になっている数列の一般項と和\(Σ\)の式の作り方のパターンの紹介です \(Σ\)の式を因数分解するコツはこちら色々な数列の和の求め方はこちら各項が足し算で増えている数列の一般項\(a_n\)は等差数列の和を使おう \(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\)…のように各項が足し算で増えているような問題はとても複雑に見えますが、実はとても単純です \(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\)…を例題として考えてみましょう第4項を見てみると、\...

場合の数と確率

最短経路の確率なのに同じものを含む順列でなぜ解かない？反復試行の確率を使う理由

碁盤の目の最短経路に関する場合の数や確率の問題は、同じものを含む順列を使うと答えを求められますしかし、確率の問題の中には同じものを含む順列ではなく「反復試行の確率」を使って解くものがあります同じ碁盤の目の最短経路に関する確率の問題なのに、なぜ解き方が違うのでしょうか　その理由は、問題文の中の「ある一言」にありますでは、反復試行の確率を使って解く最短経路の問題を、例題を使って説明していきます碁盤の目の道路の最短経路の問題【例題】図のような碁盤の目の道路がある。いま、A地点にいる人が、B地点まで最短距離で向かうとする。ただし、2通りの選び方のある交差点では、どちらを選ぶかは\(\frac{1}{2}\)の確率とする。このとき、C地点を通る確率を求めよ。よくある間違いこの問題のよくある間違いは、同じものを含む順列を使って解いてしまうことです以下に間違いを書...

三角関数

\(θ\)の範囲が指定されていない三角関数の最大値と最小値は簡単に求められる【例題】\(y=4sinθ+3cosθ\)の最大値と最小値を求めよ

三角関数では最大値と最小値を求める問題も頻繁に出題されます今回は最大値と最小値を求める問題の中でも、\(θ\)の範囲が指定されていない問題の解き方を説明していきます ※範囲が決まっていない三角関数の最大値と最小値のその他の問題はこちら \(θ\)の範囲が決められていても決められていなくても、考え方は同じ三角関数の最大値と最小値を求める問題のほとんどは、問題文の中に\((0≦θ<π)\)や\((0≦θ<2π)\)などと書かれていますつまり、これらの問題は\(θ\)の範囲が決められていて、決められた\(θ\)の範囲の中にある最も大きい値と最も小さい値がその問題の答えとなりますでは、範囲指定のない三角関数の最大値と最小値はどうやったら求められるでしょうか範囲が決まっていない三角関数は、その関数の全ての値の中で最も大きい値と最も小さい値が答えとなります ...

場合の数と確率

3の倍数や4の倍数を作る方法

場合の数や確率で出題される3の倍数や4の倍数になる整数場合の数や確率では、「奇数になるのは何通りですか」や「偶数になる確率を求めよ」等の問題がよく出題されます奇数になる整数は「１の位が奇数であれば、その整数は奇数」で、偶数になる整数は「１の位が０または２の倍数ならば、その整数は偶数」となるため、あとは１の位を場合分けして計算すれば何通りとなるかを求めることができますしかし、少し難しい問題になると「４桁の３の倍数」や「３桁の4の倍数」などの指示が出てきますそして、偶数や奇数は小学校の頃からよく出題されているからわかるけど、３の倍数や４の倍数になる条件なんて習ってないし知らない、と思っている人もたくさんいるでしょう３の倍数や４の倍数になる条件と条件を使った場合の数(順列や組み合わせ)の問題の解き方を説明していきます６の倍数、８の倍数、９の倍数の条件はこちら倍...

いろいろな数列の和で\(Σ\)の式の作り方

簡単な等差数列や等比数列ならばすぐに\(Σ\)の式を作れるけれど、少し複雑になると式が作れなくなる、という人は意外とたくさんいますそして解説を読んで納得できても「そんなの思いつかない」「閃かない」と悪態をつく… でも高校数学の問題は「思いつき」や「閃き」で解くものではなく、公式や仕組みを理解し、そして「解法のパターンを暗記」すれば簡単に解けます以下はいろいろな数列の\(Σ\)の式を作るときのパターンの紹介です ※数列を因数分解でまとめる詳しい方法はこちら ※各項が数列の和になっている数列の一般項の求め方第\(k\)項\(a_k\)は因数ごとに分けて考える数列の和は、第\(k\)項\(a_k\)を求め、\(\sum_{k=1}^{n}a_k\)を計算すれば求めらます計算は複雑ですが立式はめちゃくちゃ簡単ですさらっと「簡単です」と言い切られても、数学が苦手な人に...

複素数と方程式

因数定理\(P_{(x)}=0\)の基本的な使い方と\(x\)の値を素早く見つける方法

問題集の解説を読んでいて、突然\(P_{(1)}=0\)とか\(P_{(2)}=0\)などが書いてあり、何のことかわからなくなった人しかも、さも当たり前のように\(P_{(1)}=0\)や\(P_{(2)}=0\)と書かれているけれど、\(1 \)や\(2\)はどうやって決めているのかわからない人数学の問題集の解説は不親切、解説の解説が欲しい、だから数学は嫌い…と思うかもしれませんが、数学の問題集、とくに学校で使用している問題集は、授業で使用することを前提に作られているので仕方ないと思いましょうとりあえず、\(P_{(1)}=0\)がよくわからない人は以下を読んでください因数定理とはどんな定理？ある整式を1次式\(x-α\)で割り算したら余りが\(0\)、つまり、きれいに割り切れるとき、この式は\(x-α\)を「因数にもつ」といいます例えば\((x^3-6...