２次関数を求めよ、という問題を解いて答え合わせをすると、模範解答は自分の答えと違う形で書かれている… ここで、模範解答と違う自分の解答は間違いなのか、それともどんな形で答えても正解として良いのか悩む人も多いでしょう 絶対に模範解答通りの形でなければならないのか、本当はどちらでもいいのか、そもそもなぜ模範解答はいくつかある答えの形式から、「その形」を選んで答えているのか、これらの疑問を解消していきます 目次1 模範解答通りの書き方でなくても正解としてもらえる2 ３通りの答え方の使い分け3 \(y=a(x-p)^2+q\)の形で答える問題の例3.1 問題：頂点が\((6,1)\)で、点\((4,-11)\)を通る放物線の式を求めよ4 \(y=ax^2+bx+c\)の形で答える問題の例4.1 問題：グラフが３点\((1,2)\)、\((2,3)\)、\((-1,6)\)を通...

場合の数や確率の問題で、６の倍数や９の倍数を問われたとき、その条件をすぐに思い浮かべられますか？ ３の倍数・４の倍数になる条件はこちら 目次1 ６の倍数になる条件2 ８の倍数になる条件3 ９の倍数になる条件4 ９の倍数の条件の使い方―９の倍数になるのは何通り？―5 倍数の判定方法は覚えておこう ６の倍数になる条件 ６の倍数になる条件ある数が２の倍数かつ３の倍数であれば、その整数は６の倍数である 上記の条件に当てはまっていれば、その整数は６の倍数と言い切ることができます もし、ある数が\(774\)ならば\(774\)→一の位が偶数なので２の倍数かつ各位の和が\(18\)(\(7+7+4=18\))で３の倍数よって\(774\)は６の倍数です また、\(878\)ならば\(878\)→一の位が偶数なので２の倍数、しかし、各位の和が\(23\)(\(8+7+8=23\))...

目次1 接線の方程式2 グラフ上にある点(接点)を通る接線の方程式の求め方2.1 (例)\(y=x^3−4\)のグラフ上の点\((1,−3)\)における接線の方程式を求めよ3 グラフ上にない点を通る接線の求め方3.1 (例)点\((2,-2)\)から曲線\(y=\frac{1}{3}x^3-x\)に引いた接線の方程式を求めなさい 接線の方程式 関数\(y=f(x)\)のグラフ上の点\((a,f(a))\)における接線、つまり、接点を通る直線の方程式は \(y−f(a)=f'(a)(x−a)\) と表すことができる 接線の方程式を利用する問題の例 直線の方程式を求める公式\(y−f(a)=m(x−a)\)で関数\(f(x)\)の\(x\)の増加量が限りなく\(0\)に近い直線(接点と考えて良い)の傾き\(m\)、つまり微分係数が接線の方程式の傾きになる よって、\(m=...

数列の一般項や和\(Σ\)の式が作れない、解説見てもよくわからない、仮に解説が理解できたとしても「そんなの思いつかない」「閃かない」というような内容で困る… でも高校数学の問題は「思いつき」や「閃き」で解くものではなく、公式や仕組みを理解し、そして「解法のパターンを暗記」すれば簡単に解けます 今回は各項が等差数列の和になっている数列の一般項と和\(Σ\)の式の作り方のパターンの紹介です \(Σ\)の式を因数分解するコツはこちら 色々な数列の和の求め方はこちら 目次1 各項が足し算で増えている数列の一般項\(a_n\)は等差数列の和を使おう2 数列\[1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,1+2+3+4+…+n\]の一般項\(a_n\)を求めよう2.1 等差数列の和の公式\(S_n=\frac{1}{2}n(a+l)\)を使って一般項を求める2.2 等差数列の和の公式...

碁盤の目の最短経路に関する場合の数や確率の問題は、同じものを含む順列を使うと答えを求められます しかし、確率の問題の中には同じものを含む順列ではなく「反復試行の確率」を使って解くものがあります 同じ碁盤の目の最短経路に関する確率の問題なのに、なぜ解き方が違うのでしょうか　 その理由は、問題文の中の「ある一言」にあります では、反復試行の確率を使って解く最短経路の問題を、例題を使って説明していきます 目次1 碁盤の目の道路の最短経路の問題1.1 よくある間違い1.2 「反復試行の確率」かどうかを見分ける「ある一言」とは？1.3 「反復試行の確率」を使った正しい解き方2 同じものを含む順列では間違いとなる理由2.1 実はコイン投げと同じ理論2.2 分岐点で進む方向を選ぶ確率が上と右で違う場合を想像してみよう 碁盤の目の道路の最短経路の問題 【例題】図のような碁盤の目の道路...

三角関数では最大値と最小値を求める問題も頻繁に出題されます 今回は最大値と最小値を求める問題の中でも、\(θ\)の範囲が指定されていない問題の解き方を説明していきます ※範囲が決まっていない三角関数の最大値と最小値のその他の問題はこちら 目次1 \(θ\)の範囲が決められていても決められていなくても、考え方は同じ2 【例題】\(y=4sinθ+3cosθ\)の最大値と最小値を求めよ2.1 三角関数の合成から始める2.2 三角関数の合成2.3 \(y=5sin(θ+α)\)のグラフをイメージしてみよう2.4 \(y=4sinθ+3cosθ\)の最大値と最小値 \(θ\)の範囲が決められていても決められていなくても、考え方は同じ 三角関数の最大値と最小値を求める問題のほとんどは、問題文の中に\((0≦θ<π)\)や\((0≦θ<2π)\)などと書かれています ...

目次1 場合の数や確率で出題される3の倍数や4の倍数になる整数2 倍数を考えるとき「割り算」で考えてはいけない3 ３の倍数になる条件4 ３の倍数の条件の使い方―３の倍数になるのは何通り？―5 ４の倍数になる条件6 余裕が出たら６の倍数や９の倍数になる条件なども覚えよう 場合の数や確率で出題される3の倍数や4の倍数になる整数 場合の数や確率では、「奇数になるのは何通りですか」や「偶数になる確率を求めよ」等の問題がよく出題されます 奇数になる整数は「１の位が奇数であれば、その整数は奇数」で、偶数になる整数は「１の位が０または２の倍数ならば、その整数は偶数」となるため、あとは１の位を場合分けして計算すれば何通りとなるかを求めることができます しかし、少し難しい問題になると「４桁の３の倍数」や「３桁の4の倍数」などの指示が出てきます そして、偶数や奇数は小学校の頃からよく出題...

簡単な等差数列や等比数列ならばすぐに\(Σ\)の式を作れるけれど、少し複雑になると式が作れなくなる、という人は意外とたくさんいます そして解説を読んで納得できても「そんなの思いつかない」「閃かない」と悪態をつく… でも高校数学の問題は「思いつき」や「閃き」で解くものではなく、公式や仕組みを理解し、そして「解法のパターンを暗記」すれば簡単に解けます 以下はいろいろな数列の\(Σ\)の式を作るときのパターンの紹介です ※数列を因数分解でまとめる詳しい方法はこちら ※各項が数列の和になっている数列の一般項の求め方 目次1 第\(k\)項\(a_k\)は因数ごとに分けて考える2 次の数列の初項から第\(n\)項までの和を求めてみよう\(1・2，2・4，3・6，……\)3 次の数列の初項から第\(n\)項までの和を求めてみよう\(1^2・1，2^2・4，3^2・7，4^2・10...

問題集の解説を読んでいて、突然\(P_{(1)}=0\)とか\(P_{(2)}=0\)などが書いてあり、何のことかわからなくなった人 しかも、さも当たり前のように\(P_{(1)}=0\)や\(P_{(2)}=0\)と書かれているけれど、\(1 \)や\(2\)はどうやって決めているのかわからない人 数学の問題集の解説は不親切、解説の解説が欲しい、だから数学は嫌い…と思うかもしれませんが、数学の問題集、とくに学校で使用している問題集は、授業で使用することを前提に作られているので仕方ないと思いましょう とりあえず、\(P_{(1)}=0\)がよくわからない人は以下を読んでください 目次1 因数定理とはどんな定理？2 因数定理は高次方程式を因数分解する手段のひとつ3 因数定理の表し方4 \(P_{(α)}=0\)の\(α\)の値は約数を使って見つける5 因数定理を使って3...

共有点とは、２つの図形の交点のことを指しますそして２つの図形が座標平面上に書かれている場合、その図形の共有点を、座標を使って表すことができます 目次1 共有点の座標とは2 共有点の座標を求める方法3 放物線と\(x\)軸の共有点を求めたい場合は\(x\)軸の方程式を\(y=0\)とする4 放物線と直線の共有点を求めたい場合も同じ手順で解く5 放物線と放物線の共有点も同じ手順「連立方程式→代入法で計算」で求められる6 ２次関数以外でも共有点の座標は同じ手順で求められる 共有点の座標とは 共有点とは２つの図形の交点です当たり前のことを何度も繰り返すなと思うかもしれませんが、この当たり前のことを真の意味で理解しなければ数学がどんどん苦手になります 交点とは、一方の図形上のどこかに書かれた点の座標\((x,y)\)と、もう一方の図形上のどこかに書かれた点の座標\((x,y)\...