場合の数と確率

順列\(P\)と組み合わせ\(C\)の違いと見分け方

数学が得意な人や、すでに何度も繰り返し練習を積み重ねた人にとっては、順列\(P\)と組み合わせ\(C\)は全く別物、コーヒーと緑茶レベルで違うと認識できていると思いますしかし、まだ習いたての人たちの中には「順列\(P\)と組み合わせ\(C\)のどちらを使うのか迷う」という人もいるでしょうそこで、順列\(P\)と組み合わせ\(C\)の違いと使い分けを詳しく説明しています目次1 順列\(P\)とは2 組み合わせ\(C\)3 順列\(P\)？組み合わせ\(C\)？どっち？？4 順列\(P\)と組み合わせ\(C\)の見分けかた順列\(P\)とは順列の\(P\)は英語の\(permutation\)(パーミュテーション)の頭文字ですそして\(permutation\)(パーミュテーション)の意味は「順列,交換,置換,並べ換え」このことから順列\(P\)は、1列に並...

２次関数

２次関数を求める問題の答えの形―\(y=a(x-p)^2+q\)、\(y=ax^2+bx+c\)、\(y=a(x-α)(x-β)\)のどれを選ぶ？―

２次関数を求めよ、という問題を解いて答え合わせをすると、模範解答は自分の答えと違う形で書かれている… ここで、模範解答と違う自分の解答は間違いなのか、それともどんな形で答えても正解として良いのか悩む人も多いでしょう絶対に模範解答通りの形でなければならないのか、本当はどちらでもいいのか、そもそもなぜ模範解答はいくつかある答えの形式から、「その形」を選んで答えているのか、これらの疑問を解消していきます目次1 模範解答通りの書き方でなくても正解としてもらえる2 ３通りの答え方の使い分け3 \(y=a(x-p)^2+q\)の形で答える問題の例3.1 問題：頂点が\((6,1)\)で、点\((4,-11)\)を通る放物線の式を求めよ4 \(y=ax^2+bx+c\)の形で答える問題の例4.1 問題：グラフが３点\((1,2)\)、\((2,3)\)、\((-1,6)\)を通...

場合の数と確率

６の倍数や９の倍数など…倍数の判定方法

場合の数や確率の問題で、６の倍数や９の倍数を問われたとき、その条件をすぐに思い浮かべられますか？３の倍数・４の倍数になる条件はこちら目次1 ６の倍数になる条件2 ８の倍数になる条件3 ９の倍数になる条件4 ９の倍数の条件の使い方―９の倍数になるのは何通り？―5 倍数の判定方法は覚えておこう６の倍数になる条件６の倍数になる条件ある数が２の倍数かつ３の倍数であれば、その整数は６の倍数である上記の条件に当てはまっていれば、その整数は６の倍数と言い切ることができますもし、ある数が\(774\)ならば\(774\)→一の位が偶数なので２の倍数かつ各位の和が\(18\)(\(7+7+4=18\))で３の倍数よって\(774\)は６の倍数ですまた、\(878\)ならば\(878\)→一の位が偶数なので２の倍数、しかし、各位の和が\(23\)(\(8+7+8=23\))...

数学公式

接線の方程式の求め方(微分)

目次1 接線の方程式2 グラフ上にある点(接点)を通る接線の方程式の求め方2.1 (例)\(y=x^3−4\)のグラフ上の点\((1,−3)\)における接線の方程式を求めよ3 グラフ上にない点を通る接線の求め方3.1 (例)点\((2,-2)\)から曲線\(y=\frac{1}{3}x^3-x\)に引いた接線の方程式を求めなさい接線の方程式関数\(y=f(x)\)のグラフ上の点\((a,f(a))\)における接線、つまり、接点を通る直線の方程式は \(y−f(a)=f'(a)(x−a)\) と表すことができる接線の方程式を利用する問題の例直線の方程式を求める公式\(y−f(a)=m(x−a)\)で関数\(f(x)\)の\(x\)の増加量が限りなく\(0\)に近い直線(接点と考えて良い)の傾き\(m\)、つまり微分係数が接線の方程式の傾きになるよって、\(m=...

各項が等差数列の和になっている数列の一般項\(a_n\)と和\(S_n\)の\(Σ\)の式の作り方

数列の一般項や和\(Σ\)の式が作れない、解説見てもよくわからない、仮に解説が理解できたとしても「そんなの思いつかない」「閃かない」というような内容で困る… でも高校数学の問題は「思いつき」や「閃き」で解くものではなく、公式や仕組みを理解し、そして「解法のパターンを暗記」すれば簡単に解けます今回は各項が等差数列の和になっている数列の一般項と和\(Σ\)の式の作り方のパターンの紹介です \(Σ\)の式を因数分解するコツはこちら色々な数列の和の求め方はこちら目次1 各項が足し算で増えている数列の一般項\(a_n\)は等差数列の和を使おう2 数列\[1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,1+2+3+4+…+n\]の一般項\(a_n\)を求めよう2.1 等差数列の和の公式\(S_n=\frac{1}{2}n(a+l)\)を使って一般項を求める2.2 等差数列の和の公式...

場合の数と確率

最短経路の確率なのに同じものを含む順列でなぜ解かない？反復試行の確率を使う理由

碁盤の目の最短経路に関する場合の数や確率の問題は、同じものを含む順列を使うと答えを求められますしかし、確率の問題の中には同じものを含む順列ではなく「反復試行の確率」を使って解くものがあります同じ碁盤の目の最短経路に関する確率の問題なのに、なぜ解き方が違うのでしょうか　その理由は、問題文の中の「ある一言」にありますでは、反復試行の確率を使って解く最短経路の問題を、例題を使って説明していきます目次1 碁盤の目の道路の最短経路の問題1.1 よくある間違い1.2 「反復試行の確率」かどうかを見分ける「ある一言」とは？1.3 「反復試行の確率」を使った正しい解き方2 同じものを含む順列では間違いとなる理由2.1 実はコイン投げと同じ理論2.2 分岐点で進む方向を選ぶ確率が上と右で違う場合を想像してみよう碁盤の目の道路の最短経路の問題【例題】図のような碁盤の目の道路...

三角関数

\(θ\)の範囲が指定されていない三角関数の最大値と最小値は簡単に求められる

三角関数では最大値と最小値を求める問題も頻繁に出題されます今回は最大値と最小値を求める問題の中でも、\(θ\)の範囲が指定されていない問題の解き方を説明していきます ※範囲が決まっていない三角関数の最大値と最小値のその他の問題はこちら目次1 \(θ\)の範囲が決められていても決められていなくても、考え方は同じ2 【例題】\(y=4sinθ+3cosθ\)の最大値と最小値を求めよ2.1 三角関数の合成から始める2.2 三角関数の合成2.3 \(y=5sin(θ+α)\)のグラフをイメージしてみよう2.4 \(y=4sinθ+3cosθ\)の最大値と最小値 \(θ\)の範囲が決められていても決められていなくても、考え方は同じ三角関数の最大値と最小値を求める問題のほとんどは、問題文の中に\((0≦θ<π)\)や\((0≦θ<2π)\)などと書かれています ...

場合の数と確率

3の倍数や4の倍数を作る方法

目次1 場合の数や確率で出題される3の倍数や4の倍数になる整数2 倍数を考えるとき「割り算」で考えてはいけない3 ３の倍数になる条件4 ３の倍数の条件の使い方―３の倍数になるのは何通り？―5 ４の倍数になる条件6 余裕が出たら６の倍数や９の倍数になる条件なども覚えよう場合の数や確率で出題される3の倍数や4の倍数になる整数場合の数や確率では、「奇数になるのは何通りですか」や「偶数になる確率を求めよ」等の問題がよく出題されます奇数になる整数は「１の位が奇数であれば、その整数は奇数」で、偶数になる整数は「１の位が０または２の倍数ならば、その整数は偶数」となるため、あとは１の位を場合分けして計算すれば何通りとなるかを求めることができますしかし、少し難しい問題になると「４桁の３の倍数」や「３桁の4の倍数」などの指示が出てきますそして、偶数や奇数は小学校の頃からよく出題...

いろいろな数列の和で\(Σ\)の式の作り方

簡単な等差数列や等比数列ならばすぐに\(Σ\)の式を作れるけれど、少し複雑になると式が作れなくなる、という人は意外とたくさんいますそして解説を読んで納得できても「そんなの思いつかない」「閃かない」と悪態をつく… でも高校数学の問題は「思いつき」や「閃き」で解くものではなく、公式や仕組みを理解し、そして「解法のパターンを暗記」すれば簡単に解けます以下はいろいろな数列の\(Σ\)の式を作るときのパターンの紹介です ※数列を因数分解でまとめる詳しい方法はこちら ※各項が数列の和になっている数列の一般項の求め方目次1 第\(k\)項\(a_k\)は因数ごとに分けて考える2 次の数列の初項から第\(n\)項までの和を求めてみよう\(1・2，2・4，3・6，……\)3 次の数列の初項から第\(n\)項までの和を求めてみよう\(1^2・1，2^2・4，3^2・7，4^2・10...

複素数と方程式

因数定理\(P_{(x)}=0\)の基本的な使い方と\(x\)の値を素早く見つける方法

問題集の解説を読んでいて、突然\(P_{(1)}=0\)とか\(P_{(2)}=0\)などが書いてあり、何のことかわからなくなった人しかも、さも当たり前のように\(P_{(1)}=0\)や\(P_{(2)}=0\)と書かれているけれど、\(1 \)や\(2\)はどうやって決めているのかわからない人数学の問題集の解説は不親切、解説の解説が欲しい、だから数学は嫌い…と思うかもしれませんが、数学の問題集、とくに学校で使用している問題集は、授業で使用することを前提に作られているので仕方ないと思いましょうとりあえず、\(P_{(1)}=0\)がよくわからない人は以下を読んでください目次1 因数定理とはどんな定理？2 因数定理は高次方程式を因数分解する手段のひとつ3 因数定理の表し方4 \(P_{(α)}=0\)の\(α\)の値は約数を使って見つける5 因数定理を使って3...