大学入試過去問

「2次式で表して\(t\)とおく方法」を使って関数の最大値と最小値を求めてみよう！関数\[f(θ)=\frac{1}{2}cos2θ+\frac{cosθ}{tan^2θ}\\−\frac{1}{tan^2θcosθ}\]\(\displaystyle\left(0<θ<\frac{π}{2}\right)\)の最小値とそのときの\(θ\)の値を求めよ

最大値、最小値を求める方法の一つに「2次式で表して\(t\)とおく」がある今回はこの方法を使って解くまた\(cosθ\)や\(tanθ\)が混在しているのでどちらか一つにまとめなければならない関数\(f(θ)\)の式の最初の項が\(cosθ\)なので、素直に\(cosθ\)に統一するように考えようあとは倍角の公式や加法定理など、知ってる形に少しずつ近づけていけばOK※\(cosθ\)と\(tanθ\)なので、三角関数の合成は使えないよ解き方の手順解き方の手順①\(\displaystyle\frac{cosθ}{tan^2θ}−\frac{1}{tan^2θcosθ}\)の部分をまとめて\(cosθ\)だけの式にする②\(cos2θ\)を2倍角の公式を使って変形する③\(cosθ=t\)として2次関数にする④平方完成して最小値を求める⑤\(t\)を\(cos...

数学公式

２倍角の公式

\(y=cos\color{red}{2x}-2sin\color{red}{x}-1\)のように、\(2θ\)と\(θ\)が混在した式では、倍角の公式で角を統一します三角関数２倍角の公式を使って解く問題の解説はこちらを確認してください２倍角の公式 \[２倍角の公式\] \begin{eqnarray}sin2θ=&2sinθcosθ\end{eqnarray} \begin{eqnarray}cos2θ=&cos^2θ-sin^2θ\\=&2cos^2θ-1\\=&1-2sin^2θ\end{eqnarray} \begin{eqnarray}tan2θ=&\frac{2tanθ}{1-tan^2θ}\end{eqnarray} 半角の公式と３倍角の公式２倍角の公式だけでなく、半角の公式や３倍角の公式もよく使用しますま...

三角関数

2倍角の公式を使って三角関数の最大値と最小値を求める方法は？\(0≦x≦2π\)の範囲で、\(y=cos2x-2sinx-1\)の最大値と最小値を求めよ

この問題はひとつの式の中に\(sin\)と\(cos\)が混在しているので三角関数の合成をして、関数の種類を統一する必要がありますしかし、\(cos\)は\(cos\color{red}{2x}\)、\(sin\)は\(-2sin\color{red}{x}\)となっていて、それぞれの角の大きさが違うため三角関数の合成は使えませんこの問題は\(cos2x\)が2倍角になっているので、まず初めに2倍角の公式を使って\(sin\)だけの式に変形してから三角関数の合成を行いましょう解き方の手順解き方の手順①\(sin\) と\(cos\)が混在している式なので、変形して解きやすくするこのとき、\(cos2x\)が2倍角なので、2倍角の公式を使って\(sin\)に統一するとよい②\(sin\)に統一したあと、\(sinx=t\)と置き換えるとさらに解きやすくなる③問題...