プロ野球の日本シリーズでは先に４勝したチームが優勝です
実は、先に４勝したら優勝とただ４勝したら優勝では、同じ４勝して優勝でも、確率の求め方が変わります
その理由は、ただ４勝したら優勝の場合、最終戦で負けても４勝していれば優勝できるのに対し、先に４勝したら優勝の場合は、最終戦は必ず勝ちとなるからです
４勝した方が優勝となる場合の確率
例えば６試合して４勝した方が優勝だった場合、例えば初戦から４連勝したあと、残りの試合を２連敗しても優勝となります
このような問題では、６回行う試合のうち、どこでもいいから４回勝てばいいのです
したがって、反復試行の確率をそのまま計算すれば答えが求められます
では、求め方を以下の例題を使って説明します
問題
AチームとBチームが６試合を行い、Aが４勝２敗となる確率を求めよ
ただし、Aが勝つ確率は常に\(\frac{2}{3}\)、Bが勝つ確率は常に\(\frac{1}{3}\)とし、引き分けはないとする
すでに説明した通り、６回行う試合のうち、どこでもいいから４回勝って、どこでもいいから２回負ければいいのです
Aは\(\frac{2}{3}\)の確率で４回勝つので、その確率は\((\frac{2}{3})^4\)、さらにAは\(\frac{1}{3}\)の確率で２回負けるので、その確率は\((\frac{1}{3})^2\)
そして６回の試合のうち、どこで４回勝つのかを組み合わせ\(C\)を使って選ぶと式が完成します
よって、この問題の式は\begin{align}_6C_4\left(\frac{2}{3}\right)^4\left(\frac{1}{3}\right)^2\end{align}
まるで教科書の例題のような、お手本通りの反復試行の確率の式ができました
あとはこの式を解くだけで答えが求められます
\begin{align}_6C_4\left(\frac{2}{3}\right)^4\left(\frac{1}{3}\right)^2&=\frac{6×5×4×3}{4×3×2×1}×\left(\frac{2}{3}\right)^4×\left(\frac{1}{3}\right)^2\\&=15×\frac{16}{81}×\frac{1}{9}\\&=\frac{80}{243}\end{align}
※式は横スクロールできます
先に４勝した方が優勝とするときの確率
先に４勝した方が優勝とするとき、どちらかのチームが４勝した時点で終了になるため、最後の試合は必ず優勝するチームが勝ち、さらに、その勝利が４勝目となります
そのため、実施される試合数は確定されません
どちらかのチームが４連勝して４試合で終わる場合もあれば、３勝３敗で７試合目も行われる場合もあります
問題
先に４勝した方が優勝とする
AチームとBチームが試合を行い、Aが４勝２敗で優勝する確率を求めよ
ただし、Aが勝つ確率は常に\(\frac{2}{3}\)、Bが勝つ確率は常に\(\frac{1}{3}\)とし、引き分けはないとする
先に４勝した方が優勝とする条件で、４勝２敗で優勝する場合、５試合終了時点で３勝２敗で優勝に王手をかけ、６試合目は必ず勝つ必要があります
ちなみに５試合行ったうち、どこで３回勝ってもかまわないので、反復試行の確率を使って計算し、最後に６試合目の勝率をかけ算すればこの問題の答えが求められます
よってこの問題の式は\begin{align}_5C_3\left(\frac{2}{3}\right)^3\left(\frac{1}{3}\right)^2×\frac{2}{3}\end{align}
あとはこの式を解くだけで答えが求められます
\begin{align}_5C_3\left(\frac{2}{3}\right)^3\left(\frac{1}{3}\right)^2×\frac{2}{3}&=\frac{5×4×3}{3×2×1}×\left(\frac{2}{3}\right)^3×\left(\frac{1}{3}\right)^2×\frac{2}{3}\\&=10×\frac{8}{27}×\frac{1}{9}×\frac{2}{3}\\&=\frac{160}{729}\end{align}
※式は横スクロールできます
問題
先に４勝した方が優勝とする
AチームとBチームが試合を行い、Aが優勝する確率を求めよ
ただし、A・Bともに勝つ確率は常に\(\frac{1}{2}\)とし、引き分けはないとする
これはプロ野球の日本シリーズで推しチームが日本一になる確率を求める問題です
それぞれのリーグで140試合以上を行い、クライマックスシリーズを勝ち抜いた事に敬意を表し、両チームの強さは互角、つまり勝つ確率は\(\frac{1}{2}\)とします
また、計算が複雑になるため、引き分けはなしとします
この問題は場合分けをして解く必要があります
Aが先に４勝して優勝するパターンは以下の４つがあります
①４連勝で優勝
②４勝１敗で優勝
③４勝２敗で優勝
④４勝３敗で優勝
上記４つのパターンの確率をそれぞれ求め、全てたし算すると答えになります
では、①から順に確率を求めていきましょう
①４連勝で優勝
\begin{align}\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}=\frac{2}{32}\end{align}
②４勝１敗で優勝
\begin{align}_4C_3\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^1×\frac{1}{2}&=\frac{4×3×2}{3×2×1}×\left(\frac{1}{2}\right)^3×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}\\&=4×\frac{1}{8}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}\\&=\frac{4}{32}\end{align}
③４勝２敗で優勝
\begin{align}_5C_3\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^2×\frac{1}{2}&=\frac{5×4×3}{3×2×1}×\left(\frac{1}{2}\right)^3×\left(\frac{1}{2}\right)^2×\frac{1}{2}\\&=10×\frac{1}{8}×\frac{1}{4}×\frac{1}{2}\\&=\frac{5}{32}\end{align}
④４勝３敗で優勝
\begin{align}_6C_3\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^3×\frac{1}{2}&=\frac{6×5×4}{3×2×1}×\left(\frac{1}{2}\right)^3×\left(\frac{1}{2}\right)^3×\frac{1}{2}\\&=20×\frac{1}{8}×\frac{1}{8}×\frac{1}{2}\\&=\frac{5}{32}\end{align}
これらの和は\begin{align}\frac{2}{32}+\frac{4}{32}+\frac{5}{32}+\frac{5}{32}=\frac{16}{32}=\frac{1}{2}\end{align}
※式は横スクロールできます
よって、日本シリーズで推しチームが日本一になる確率は\(\frac{1}{2}\)
