最小公倍数と最大公約数の求め方、約数の個数の求め方

中学生や高校1年生のときに学習した最小公倍数と最大公約数の求め方…滅多に使わないので忘れてしまったという人向けの思い出し&確認用です

思い出し&確認用なので、求め方のみ記載し、理由などは全て省略しています

最小公倍数と最大公約数の求め方と約数の個数の求め方、おまけとして最後に約数の和の求め方も書いておきます

最小公倍数の求め方

最小公倍数は、最小公倍数を求めたい数字をそれぞれ素因数分解していくところから始めます

素因数分解をしたあとは、それぞれの素数を因数ごとに比べていき、一番多く含まれているもの(指数が大きい方)を選んでかけ算していきます

言葉で書くととてもわかりにくいので、以下に整数を使って数式を書きながら説明していきます

60と126の最小公倍数を求めてみよう

まずはそれぞれの数字を素因数分解するところから始めましょう

\begin{align}60を素因数分解すると、2^2✕3✕5\\126を素因数分解すると、2✕3^2✕7\end{align}

素因数分解後の式\(2^2✕3✕5\)と\(2✕3^2✕7\)を因数ごとに見比べ、指数が大きい方を選んでいきます

しかし、初心者はこのままだと見比べにくいため、次のような工夫をしましょう

\(60\)には因数\(7\)がないため、\(7^0\)を、\(126\)には因数\(5\)がないため、\(5 ^0\)を書き足し、さらに、本来指数を書く必要がない数字も\(2^1 、3^1、5^1 \)と書き直します

工夫後
\begin{align}60→2^2✕3^1✕5^1 ✕7^0\\126→2^1✕3^2✕5^0✕7^1\end{align}

では、それぞれの因数の指数を比べ、大きい方を選んでいきます

今回はわかりやすいように、指数が大きい方を赤字にしています

\begin{align}60→\color{red}{2^2}✕3^1✕\color{red}{5^1} ✕7^0\\126→2^1✕\color{red}{3^2}✕5^0✕\color{red}{7^1}\end{align}

あとは選んだ因数を全てかけ算するだけで最小公倍数となります

\begin{align}&2^2✕3^2✕5^1 ✕7^1\\&=4✕9✕5✕7\\&=1260\end{align}

答え
\(60\)と\(126 \)の最小公倍数は\(1260\)

めんどくさい人はこちらだけ確認！最小公倍数を求める計算過程を最初から最後まで通しで書きます

\begin{align}60を素因数分解すると、2^2✕3✕5\\126を素因数分解すると、2✕3^2✕7\end{align}

比べやすいように書き直して\begin{align}60→2^2✕3^1✕5^1 ✕7^0\\126→2^1✕3^2✕5^0✕7^1\end{align}

それぞれの因数の指数を比べ、大きい方を選ぶ\begin{align}60→\color{red}{2^2}✕3^1✕\color{red}{5^1} ✕7^0\\126→2^1✕\color{red}{3^2}✕5^0✕\color{red}{7^1}\end{align}

選んだ因数を全てかけ算して\begin{align}&2^2✕3^2✕5^1 ✕7^1\\&=4✕9✕5✕7\\&=1260\end{align}

最大公約数の求め方

最大公約数も最小公倍数と同じく、最大公約数を求めたい数字をそれぞれ素因数分解していくところから始めます

そして、素因数分解をしたあとは最小公倍数と同じようにそれぞれの素数を因数ごとに比べていきますが、今回は比べた結果、指数が一番小さいものを選んでかけ算していきます

最大公約数の求め方も、言葉で書くととてもわかりにくいので、以下に整数を使って数式を書きながら説明していきます

60と126の最大公約数を求めてみよう

まず最初にそれぞれの数字を素因数分解します

\begin{align}60を素因数分解すると、2^2✕3✕5\\126を素因数分解すると、2✕3^2✕7\end{align}

素因数分解後の式\(2^2✕3✕5\)と\(2✕3^2✕7\)を因数ごとに見比べ、指数が小さい方を選んでいきます

このままだと比べにくいので、最小公倍数のときと同じように、次のような工夫をしましょう

まず、\(60\)の因数に\(7^0\)を、\(126\)の因数に\(5 ^0\)を書き足します
さらに、本来指数を書く必要がない数字も\(2^1 、3^1、5^1 \)と書き直します

工夫後
\begin{align}60→2^2✕3^1✕5^1 ✕7^0\\126→2^1✕3^2✕5^0✕7^1\end{align}

ここまでの手順は最小公倍数と全く同じですが、次の計算過程からは少し変わります

それぞれの因数の指数を比べ、小さいを選びます\begin{align}60→2^2✕\color{red}{3^1}✕5^1 ✕\color{red}{7^0}\\126→\color{red}{2^1}✕3^2✕\color{red}{5^0}✕7^1\end{align}

あとは選んだ因数を全てかけ算するだけで最小公倍数となります

\begin{align}&2^1✕3^1✕5^0 ✕7^0\\&=2 ✕3 ✕1✕1 \\&=6\end{align}

答え\(60\)と\(126 \)の最大公約数は\(6\)

※\(5^0=1\)、\(7^0=1\)です

めんどくさい人はこちらだけ確認！最小公倍数を求める計算過程を最初から最後まで通しで書きます

\begin{align}60を素因数分解すると、2^2✕3✕5\\126を素因数分解すると、2✕3^2✕7\end{align}

比べやすいように書き直して\begin{align}60→2^2✕3^1✕5^1 ✕7^0\\126→2^1✕3^2✕5^0✕7^1\end{align}

それぞれの因数の指数を比べ、小さいを選ぶ\begin{align}60→2^2✕\color{red}{3^1}✕5^1 ✕\color{red}{7^0}\\126→\color{red}{2^1}✕3^2✕\color{red}{5^0}✕7^1\end{align}

選んだ因数をかけ算して\begin{align}&2^1✕3^1✕5^0 ✕7^0\\&=2 ✕3 ✕1✕1 \\&=6\end{align}

約数の個数の求め方

約数の個数は、求めたい整数を素因数分解し、因数の指数に1を加えた数をかけ算すれば求められます

例として\(324\)の約数の個数を求めてみましょう

\(324\)の約数の個数を求めてみよう

\begin{align}324を素因数分解すると、2^2✕3^4\end{align}

\(2\)の指数の\(2\)と\(3\)の指数の\(4\)のそれぞれに\(1\)を加えかけ算します

\begin{align}&(2+1)✕(4+1)\\&=3✕5\\&=15\end{align}

よって\(324\)の約数は\(15\)個

約数の和の求め方

約数の和も最初に素因数分解することで求められます

例題として、\(360\)の約数の和を求めてみましょう

\(360\)の約数の和を求めてみよう

\begin{align}360を素因数分解すると、2^3✕3^2✕5\end{align}

素因数分解したあとは、\(2^0\)から\(2^3\)まで全てたし算、(3^0)から(3^2)まで全てたし算、\(5^0\)から\(5^1\)まで全てたし算し、それぞれの答えをかけ算します

\begin{align}&(2^0+2 ^1+2^2+2^3)✕(3^0+3 ^1+3^2)✕(5^0+5 ^1)\\&=(1+2+4+8)✕(1+3+9)✕(1+5)\\&=15✕13✕6\\&=1170\end{align}

よって\(360\)の約数の和は\(1170\)