半角の公式と2倍角の公式、さらに三角関数の合成を使って\(sin\)だけの式にしていく 解き方の手順①\(sin^2x\)と\(3cos^2x\)のうちの\(cos^2x\)の部分を半角の公式を使って変形する②\(2sinxcosx\)を2倍角の公式を使って変形する③三角関数の合成をして\(sin\)だけの式にする④最大値と最小値を調べて答える ※この問題は\(θ=2x\)なので、公式の\(θ\)部分は全て\(2x\)となる \(sin^2x\)と\(3cos^2x\)を半角の公式を使って変形しよう \(sin^2x\)を\(\displaystyle sin^2\frac{2x}{2}\)とすると、半角の公式より\[\displaystyle sin^2x=\frac{1-cos2x}{2}\] \(3cos^2x\)を(\displaystyle 3×cos^2\...

3直線が三角形を作らない条件は①3直線が一点で交わるとき②3つのうち2つの直線が平行のとき したがって①または②のどちらかを満たしている\(a\)の値を考えれば良い ①と②のどちらから考えてもかまわないが、今回は①→②の順で考えていく 解き方の手順①「交点の座標は連立方程式で求める」を利用して、3直線が一点で交わるときを考える②「一次関数が平行になるときは傾きが同じとき」を利用して\(x+3y=2\)と\(ax−2y=−4\)が平行になるときを考える③「一次関数が平行になるときは傾きが同じとき」を利用して\(x+y=0\)と\(ax−2y=−4\)が平行になるときを考える ※\(x+3y=2\)と\(x+y=0\)は絶対に平行にならない(理由は後述)ので考える必要はないよ 3直線が交わる点の座標を考えよう まず、条件①のときの\(a\)の値から考えよう \(ax−2y...

1つの式の中に\(sinθ\)と\(cosθ\)が混在しているとき、とくに(sin^2θ)や(cos^2θ)というように2次数の項があるときは、\(sin^2θ+cos^2 θ=1\)を使って\(sinθ\)のみの式や\(cosθ\)のみの式に自在に変形することができます このような\(sinθ\)、\(cosθ\)、\(tanθ\)の関係を「三角比の相互関係」といいます 三角比の相互関係を使った問題の解説はこちらを確認してください 三角比の相互関係 \[三角比の相互関係\] \begin{eqnarray}sin^2θ+cos^2 θ=1\end{eqnarray} \begin{eqnarray}1+tan^2θ=\frac{1}{cos^2θ}\end{eqnarray} \begin{eqnarray}tanθ=\frac{sinθ}{cosθ}\end{eq...

最大値、最小値を求める方法の一つに「2次式で表して\(t\)とおく」がある今回はこの方法を使って解く また\(cosθ\)や\(tanθ\)が混在しているのでどちらか一つにまとめなければならない 関数\(f(θ)\)の式の最初の項が\(cosθ\)なので、素直に\(cosθ\)に統一するように考えよう あとは倍角の公式や加法定理など、知ってる形に少しずつ近づけていけばOK※\(cosθ\)と\(tanθ\)なので、三角関数の合成は使えないよ 解き方の手順 解き方の手順①\(\displaystyle\frac{cosθ}{tan^2θ}−\frac{1}{tan^2θcosθ}\)の部分をまとめて\(cosθ\)だけの式にする②\(cos2θ\)を2倍角の公式を使って変形する③\(cosθ=t\)として2次関数にする④平方完成して最小値を求める⑤\(t\)を\(cos...

問題の関数と接線をグラフにすると下の図のようになる 積分するだけで簡単に面積は求められるが、上図の黒い点、つまり接点の座標\((1,−3)\)だけわかっていても、上図の赤い点、\(y=x^3−4x\)と接線の方程式の交点の座標がわからなければ解くことができない※交点の座標は\(x\)座標がわかればOK よって、まずは接線の方程式を求めて\(y=x^3−4x\)との交点の座標を求めるところから始めよう 問題を解く手順①微分係数から接線の方程式を求める②\(y=x^3−4x\)と接線の交点の座標(\(x\)座標のみ)を求める③積分して面積を求める \(y=x^3−4x\)と\((1,−3)\)における接線の方程式を求めよう 接線の方程式の公式はこちら 接線の方程式を求めるためにはまず\(y=x^3−4x\)を微分した式に接点の\(x\)座標を代入して計算する→この値が接線...

ひらめきで解こうとせずにパターンを暗記しよう この問題は半角の公式と2倍角の公式、そして三角関数の合成を使って式を変形していきます 一度でスッキリ式変形ができる問題ではないので、初見で解くのはまず無理でしょう このような問題は、類題をたくさん解き、パターンを覚えることで対応できるようになります 発想やひらめきではなく、パターン暗記と繰り返し練習が数学の勉強です 解き方の手順①\(cos^2x\)を\(cos^2\frac{2x}{2}\)と考え、半角の公式を使って変形する②\(2sinxcosx\)を2倍角の公式を使って変形する③変形後の式を合成する④\(0≦x≦2π\)の範囲に当てはまる\(x\)の値を考える \(cos^2x\)を\(cos^2\frac{2x}{2}\)と考え、半角の公式を使って変形する ※半角の公式はこちらを確認 たぶん、というか絶対にこの問題...

\(t=\frac{α}{β}\)のままでは\(t\)の値を求められないので変形する\(β=▲\)の形に変形するのは手間なので、素直に\(α=●\)の形にする 変形して元の式に代入後、2次方程式の形になるまで式を整理することがポイント 解き方の手順①\(t=\frac{α}{β}\)を\(α=●\)の形に変形する②変形して求めた\(α\)の値を等式\((α^2+3αβ)^2−9β^4=0\)に代入する③式を整理する(2次方程式になる)④因数分解して\(t\)の値を求める まずは\(t=\frac{α}{β}\)を変形しよう \(t=\frac{α}{β}\)より\(α=tβ\)と変形できる \(α=tβ\)を等式\((α^2+3αβ)^2−9β^4=0\)に代入して式を整理する \(\{(tβ)^2+3(tβ)β\}^2−9β^4=0\)\(\{(tβ)^2+3tβ^...

この問題を解くためには、まず点Pと点Qの\(x\)座標を\(a\)を用いて表したものが必要になる Pと点Qの\(x\)座標を\(a\)を用いて表す方法はこちらを確認 問題を解く手順①PとQの座標を求める②PとQの座標が座標平面上のどの辺りにあるのか確認する③\(l\)と\(m\)の傾きをかけ算すると-1なので、△OPQはPO⊥QOの直角三角形になることを確認する④POとQOの長さを三平方の定理で求める(POとQOが底辺と高さになる)⑤三角形の面積の公式\(底辺×高さ×\frac{1}{2}\)に当てはめて計算する 点Pと点Qの座標を\(a\)を用いて表すとP(\(a-\sqrt{1+a^2}\),\(-(a-\sqrt{1+a^2})\))Q(\(a+\sqrt{1+a^2}\),\((a-\sqrt{1+a^2})\))※PとQの\(y\)座標は、\(x\)座標を\...

\(n\)と\(l\)との交点\(P\)、\(n\)と\(m\)の交点を\(Q\)→交点の座標を考えたいが、\(n\)は式がはっきりとわかっていないので、問題を解き始める前に計算をしておく必要がある。 解き方の手順①まず\(n\)の式を求める②点Pの\(x\)座標を\(n\)と\(l\)に代入して\(y\)座標を求める③ふたつの\(y\)座標をイコールで繋いで方程式を作る④作った方程式を解く⑤Qも同様にして解く \(n\)は\(C\)上の点(\(a\),\(\sqrt{1＋a^2}\))における接線なので、接線を求める公式\(y-f(a)=f'(a)\cdot(x-a)\)を使えば\(n\)は求められる。よって、\(C\)の式と\(C\)を微分した式を求め、公式に当てはめて\(n\)を求めよう。 \(C\)の式\(f(x)=(1+x^2)^{\frac{1}{2}}\...

問題を解く手順①三角関数の合成をする②範囲を確認する③最大値と最小値を見つける まず最初に三角関数の合成をする 1つの式の中に\(sin\)と\(cos\)があるので三角関数の合成を行い、\(sin\)だけの式にすると続きを考えやすくなるよ 「三角関数の合成」の方法 この合成の式に当てはめて計算すると… \begin{eqnarray}y&=&\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}sin(x+\frac{π}{3})\\y&=&2sin(x+\frac{π}{3})\end{eqnarray} よって、合成後の式は\(y=2sin(x+\frac{π}{3})\)となる 最大値と最小値を考える前に範囲を確認しよう この問題は\(x\)の範囲が\(0≦x＜2π\)となっているけれど、合成後の式を見てみると\(x+\frac{π}{...