ひらめきで解こうとせずにパターンを暗記しよう この問題は半角の公式と2倍角の公式、そして三角関数の合成を使って式を変形していきます 一度でスッキリ式変形ができる問題ではないので、初見で解くのはまず無理でしょう このような問題は、類題をたくさん解き、パターンを覚えることで対応できるようになります 発想やひらめきではなく、パターン暗記と繰り返し練習が数学の勉強です 解き方の手順①\(cos^2x\)を\(cos^2\frac{2x}{2}\)と考え、半角の公式を使って変形する②\(2sinxcosx\)を2倍角の公式を使って変形する③変形後の式を合成する④\(0≦x≦2π\)の範囲に当てはまる\(x\)の値を考える \(cos^2x\)を\(cos^2\frac{2x}{2}\)と考え、半角の公式を使って変形する ※半角の公式はこちらを確認 たぶん、というか絶対にこの問題...

\(t=\frac{α}{β}\)のままでは\(t\)の値を求められないので変形する\(β=▲\)の形に変形するのは手間なので、素直に\(α=●\)の形にする 変形して元の式に代入後、2次方程式の形になるまで式を整理することがポイント 解き方の手順①\(t=\frac{α}{β}\)を\(α=●\)の形に変形する②変形して求めた\(α\)の値を等式\((α^2+3αβ)^2−9β^4=0\)に代入する③式を整理する(2次方程式になる)④因数分解して\(t\)の値を求める まずは\(t=\frac{α}{β}\)を変形しよう \(t=\frac{α}{β}\)より\(α=tβ\)と変形できる \(α=tβ\)を等式\((α^2+3αβ)^2−9β^4=0\)に代入して式を整理する \(\{(tβ)^2+3(tβ)β\}^2−9β^4=0\)\(\{(tβ)^2+3tβ^...

この問題を解くためには、まず点Pと点Qの\(x\)座標を\(a\)を用いて表したものが必要になる Pと点Qの\(x\)座標を\(a\)を用いて表す方法はこちらを確認 問題を解く手順①PとQの座標を求める②PとQの座標が座標平面上のどの辺りにあるのか確認する③\(l\)と\(m\)の傾きをかけ算すると-1なので、△OPQはPO⊥QOの直角三角形になることを確認する④POとQOの長さを三平方の定理で求める(POとQOが底辺と高さになる)⑤三角形の面積の公式\(底辺×高さ×\frac{1}{2}\)に当てはめて計算する 点Pと点Qの座標を\(a\)を用いて表すとP(\(a-\sqrt{1+a^2}\),\(-(a-\sqrt{1+a^2})\))Q(\(a+\sqrt{1+a^2}\),\((a-\sqrt{1+a^2})\))※PとQの\(y\)座標は、\(x\)座標を\...

\(n\)と\(l\)との交点\(P\)、\(n\)と\(m\)の交点を\(Q\)→交点の座標を考えたいが、\(n\)は式がはっきりとわかっていないので、問題を解き始める前に計算をしておく必要がある。 解き方の手順①まず\(n\)の式を求める②点Pの\(x\)座標を\(n\)と\(l\)に代入して\(y\)座標を求める③ふたつの\(y\)座標をイコールで繋いで方程式を作る④作った方程式を解く⑤Qも同様にして解く \(n\)は\(C\)上の点(\(a\),\(\sqrt{1＋a^2}\))における接線なので、接線を求める公式\(y-f(a)=f'(a)\cdot(x-a)\)を使えば\(n\)は求められる。よって、\(C\)の式と\(C\)を微分した式を求め、公式に当てはめて\(n\)を求めよう。 \(C\)の式\(f(x)=(1+x^2)^{\frac{1}{2}}\...

問題を解く手順①三角関数の合成をする②範囲を確認する③最大値と最小値を見つける まず最初に三角関数の合成をする 1つの式の中に\(sin\)と\(cos\)があるので三角関数の合成を行い、\(sin\)だけの式にすると続きを考えやすくなるよ 「三角関数の合成」の方法 この合成の式に当てはめて計算すると… \begin{eqnarray}y&=&\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}sin(x+\frac{π}{3})\\y&=&2sin(x+\frac{π}{3})\end{eqnarray} よって、合成後の式は\(y=2sin(x+\frac{π}{3})\)となる 最大値と最小値を考える前に範囲を確認しよう この問題は\(x\)の範囲が\(0≦x＜2π\)となっているけれど、合成後の式を見てみると\(x+\frac{π}{...

\(sin^2θ\)や\(cos^2θ\)など2次数の項は、半角の公式を使用することで、\(sin2θ\)や\(cos2θ\)などに変形することができます 三角関数半角の公式を使って解く問題の解説は以下を確認してください 半角の公式を使って解く問題① 半角の公式を使って解く問題② 半角の公式 \[半角の公式\] \begin{eqnarray}sin^2\frac{θ}{2}=\frac{1-cosθ}{2}\end{eqnarray} \begin{eqnarray}cos^2\frac{θ}{2}=\frac{1+cosθ}{2}\end{eqnarray} \begin{eqnarray}tan^2\frac{θ}{2}=\frac{1-cosθ}{1+cosθ}\end{eqnarray} ２倍角の公式と３倍角の公式 半角の公式だけでなく、２倍角の公式や３倍角...

問題文の中に\(sin3θ\)や\(cos3θ\)など、\(θ\)が3倍になっているものがあれば、まず初めに3倍角の公式を使って式を変形します 3倍角の公式は滅多に使わないから覚えなくてもいいと考える人もいますが、数Ⅲの積分では頻繁に使用しますので、必ず覚えるようにしましょう ３倍角の公式 \[３倍角の公式\] \begin{eqnarray}sin3θ=-4sin^3θ+3sinθ\end{eqnarray} \begin{eqnarray}sin3θ=4sin^3θ-3sinθ\end{eqnarray} 半角の公式と２倍角の公式 ３倍角の公式だけでなく、半角の公式や２倍角の公式もよく使用します まだ覚えられていない人は、３倍角の公式のついでに半角の公式と２倍角の公式もチェックしましょう ２倍角の公式 半角の公式 実は、3倍角の公式を覚えられていなくても、加法定理...

\(y=cos\color{red}{2x}-2sin\color{red}{x}-1\)のように、\(2θ\)と\(θ\)が混在した式では、倍角の公式で角を統一します 三角関数２倍角の公式を使って解く問題の解説はこちらを確認してください ２倍角の公式 \[２倍角の公式\] \begin{eqnarray}sin2θ=&2sinθcosθ\end{eqnarray} \begin{eqnarray}cos2θ=&cos^2θ-sin^2θ\\=&2cos^2θ-1\\=&1-2sin^2θ\end{eqnarray} \begin{eqnarray}tan2θ=&\frac{2tanθ}{1-tan^2θ}\end{eqnarray} 半角の公式と３倍角の公式 ２倍角の公式だけでなく、半角の公式や３倍角の公式もよく使用します ま...

三角関数には、ひとつの式の中に\(sin\)と\(cos\)が混在している問題があります このような問題は、そのままの状態で解き進めて答えを導くのは至難の業のため、\(sin\)だけ、もしくは\(cos\)だけの式に変形してから解き進めます \(sin\)だけ、もしくは\(cos\)だけの式に変形する方法はいくつかありますが、その中の一つ、三角関数の合成の方法をは覚えられていますか？ 今回は「三角関数の合成」の方法を詳しく説明していきます 「三角関数の合成」を使った問題の解説はこちらを確認してください 三角関数の合成とは 冒頭でも書きましたが、三角関数の合成とは、ひとつの式の中に\(sin\)と\(cos\)が混在しているときに、\(sin\)だけの式に変形する方法です 問題形式で言うと、\(asinθ+bcosθ\)等の形で出題されている式を\(rsin(θ+α)\...

解き方の手順①式を展開する②三角関数の合成を行い、さらに式を整理する③当てはまる\(x\)の範囲を考える まずは式を展開する \(\sqrt{2}(sinx+cosx)>1\)のまま\(x\)の範囲を考えることはほぼ不可能まずはひとつずつ丁寧に、式を展開するところから始めよう \begin{eqnarray}\sqrt{2}(sinx+cosx)&>&1\\\sqrt{2}sinx+\sqrt{2}cosx&>&1\end{eqnarray} 展開したら次は三角関数の合成をしよう 次は三角関数の合成をしよう 問題の式には\(sin\)と\(cos\)が混在しているので、三角関数の合成をして\(sin\)だけの式に変換し、\(x\)の範囲を考えやすくしよう 「三角関数の合成」の方法 合成すると\begin{eqnarra...