高校数学解説

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整数の性質

最小公倍数と最大公約数の求め方、約数の個数の求め方

中学生や高校1年生のときに学習した最小公倍数と最大公約数の求め方…滅多に使わないので忘れてしまったという人向けの思い出し&確認用です 思い出し&確認用なので、求め方のみ記載し、理由などは全て省略しています 最小公倍数と最大公約数の求め方と約数の個数の求め方、おまけとして最後に約数の和の求め方も書いておきます 最小公倍数の求め方 最小公倍数は、最小公倍数を求めたい数字をそれぞれ素因数分解していくところから始めます 素因数分解をしたあとは、それぞれの素数を因数ごとに比べていき、一番多く含まれているもの(指数が大きい方)を選んでかけ算していきます 言葉で書くととてもわかりにくいので、以下に整数を使って数式を書きながら説明していきます 60と126の最小公倍数を求めてみよう まずはそれぞれの数字を素因数分解するところから始めましょう \begin{align}...
指数関数・対数関数

対数\(log\)の計算\((log_29+log_83)(log_32+log_94)\)の計算方法

一番最初にした方が良いこと 結論から先に言うと、\((log_29+log_83)(log_32+log_94)\)のような問題は、まず底を変換してそろえることから始めると楽に計算ができます 実際には、数学の計算方法として正しいことをしていれば、いつ何をしても正解に辿り着くので、一番最初にすることについては特に決まりがありません これは、分数のかけ算で約分を先にしても最後にしても必ず同じ答えになることと同じ理論です つまり、最初に「乗法公式を使って展開」しても「底を変換して」も同じ答えになるし、「最初に底を変換」したあとに「通分して足し算」しても「乗法公式を使って展開」しても答えは同じになります しかし、分数のかけ算は先に約分した方が簡単に計算できるように、この問題もまず底を変換し、そのあとはカッコの中を通分して足し算、最後にかけ算をする方法が最も楽に計算できます 底...
指数関数・対数関数

対数関数の最大・最小で底\(a\)が１より小さい(\(0<a<1)\)ときの答えの求め方―\(y=\log_{\frac{1}{3}}x+\log_{\frac{1}{3}}(6-x)\)の最小値はどうやって求める？―

対数関数の最大・最小を求める問題もテストによく出題されますね ほとんどの問題は底が１より大きく、真数の部分が２次式になっているので、平方完成して頂点を求めれば、最大値または最小値が求められます では底が１より小さいときの最大値・最小値はどうなるのでしょうか？ 底が１より小さい場合の最小値・最小値 結論から先に述べると、底が１より小さい場合は、真数が最大のとき\(y\)の値が最小となり、真数が最小のとき\(y\)の値が最大となります 底が１より大きい場合は、真数が最大のとき\(y\)の値が最大、真数が最小のとき\(y\)の値が最小となるため、底が１より小さい場合は、最大値・最小値の値が逆になっていると言えます 底が１より小さい場合、最大・最小が逆になる理由 グラフの対称移動を思い出してください 数Ⅰの２次関数で、\(y=f_{(x)}\)と\(y=-f_{(x)}\)は...
場合の数と確率

先に４勝した方が優勝となる確率―日本シリーズ―

プロ野球の日本シリーズでは先に４勝したチームが優勝です 実は、先に４勝したら優勝とただ４勝したら優勝では、同じ４勝して優勝でも、確率の求め方が変わります その理由は、ただ４勝したら優勝の場合、最終戦で負けても４勝していれば優勝できるのに対し、先に４勝したら優勝の場合は、最終戦は必ず勝ちとなるからです ４勝した方が優勝となる場合の確率 例えば６試合して４勝した方が優勝だった場合、例えば初戦から４連勝したあと、残りの試合を２連敗しても優勝となります このような問題では、６回行う試合のうち、どこでもいいから４回勝てばいいのです したがって、反復試行の確率をそのまま計算すれば答えが求められます では、求め方を以下の例題を使って説明します 問題AチームとBチームが６試合を行い、Aが４勝２敗となる確率を求めよただし、Aが勝つ確率は常に\(\frac{2}{3}\)、Bが勝つ確率は...
場合の数と確率

順列\(P\)と組み合わせ\(C\)の違いと見分け方

数学が得意な人や、すでに何度も繰り返し練習を積み重ねた人にとっては、順列\(P\)と組み合わせ\(C\)は全く別物、コーヒーと緑茶レベルで違うと認識できていると思います しかし、まだ習いたての人たちの中には「順列\(P\)と組み合わせ\(C\)のどちらを使うのか迷う」という人もいるでしょう そこで、順列\(P\)と組み合わせ\(C\)の違いと使い分けを詳しく説明しています 順列\(P\)とは 順列の\(P\)は英語の\(permutation\)(パーミュテーション)の頭文字です そして\(permutation\)(パーミュテーション)の意味は「順列,交換,置換,並べ換え」 このことから順列\(P\)は、1列に並べた物や人物、数字を並べ替えて、その並び替えすべてのパターンが何通りあるかを求めたいときに使います 組み合わせ\(C\) 組み合わせの\(C\)は英語の\(...
２次関数

２次関数を求める問題の答えの形―\(y=a(x-p)^2+q\)、\(y=ax^2+bx+c\)、\(y=a(x-α)(x-β)\)のどれを選ぶ？―

２次関数を求めよ、という問題を解いて答え合わせをすると、模範解答は自分の答えと違う形で書かれている… ここで、模範解答と違う自分の解答は間違いなのか、それともどんな形で答えても正解として良いのか悩む人も多いでしょう 絶対に模範解答通りの形でなければならないのか、本当はどちらでもいいのか、そもそもなぜ模範解答はいくつかある答えの形式から、「その形」を選んで答えているのか、これらの疑問を解消していきます 模範解答通りの書き方でなくても正解としてもらえる ２次関数の式を求める問題の答えは、次の３通りのうちのどれかで書かれています 結論から言うと、上記３つの形のどれかで答えていれば、その問題は正解となります 「どれでもいいなら、自分の好きな形で答えてもいいよね」と言いたくなる気持ちもわかりますが、模範解答で選ばれてる形には「その問題を解くにあたって、最も答えを求めやすい形だか...
場合の数と確率

６の倍数や９の倍数など…倍数の判定方法

場合の数や確率の問題で、６の倍数や９の倍数を問われたとき、その条件をすぐに思い浮かべられますか？ ３の倍数・４の倍数になる条件はこちら ６の倍数になる条件 ６の倍数になる条件ある数が２の倍数かつ３の倍数であれば、その整数は６の倍数である 上記の条件に当てはまっていれば、その整数は６の倍数と言い切ることができます もし、ある数が\(774\)ならば\(774\)→一の位が偶数なので２の倍数かつ各位の和が\(18\)(\(7+7+4=18\))で３の倍数よって\(774\)は６の倍数です また、\(878\)ならば\(878\)→一の位が偶数なので２の倍数、しかし、各位の和が\(23\)(\(8+7+8=23\))となり３の倍数ではありませんよって\(878\)は６の倍数ではありません この条件を使うと、1〜7までの数字から異なる3つの数字を取り出し３桁の３の倍数を作ると...
数学公式

接線の方程式の求め方(微分)

接線の方程式 関数\(y=f(x)\)のグラフ上の点\((a,f(a))\)における接線、つまり、接点を通る直線の方程式は \(y−f(a)=f'(a)(x−a)\) と表すことができる 接線の方程式を利用する問題の例 直線の方程式を求める公式\(y−f(a)=m(x−a)\)で関数\(f(x)\)の\(x\)の増加量が限りなく\(0\)に近い直線(接点と考えて良い)の傾き\(m\)、つまり微分係数が接線の方程式の傾きになる よって、\(m=f'(x)\) グラフ上にある点(接点)を通る接線の方程式の求め方 グラフ上にある点(接点)を通る接線の方程式を求める方法 ①まず微分する②微分した式に接点の\(x\)座標を代入して微分係数を求める→接線の方程式の傾き③接線の方程式に接点の座標と②で求めた微分係数を代入して完成 (例)\(y=x^3−4\)のグラフ上の点\((1,...
数列

各項が等差数列の和になっている数列の一般項\(a_n\)と和\(S_n\)の\(Σ\)の式の作り方

数列の一般項や和\(Σ\)の式が作れない、解説見てもよくわからない、仮に解説が理解できたとしても「そんなの思いつかない」「閃かない」というような内容で困る… でも高校数学の問題は「思いつき」や「閃き」で解くものではなく、公式や仕組みを理解し、そして「解法のパターンを暗記」すれば簡単に解けます 今回は各項が等差数列の和になっている数列の一般項と和\(Σ\)の式の作り方のパターンの紹介です \(Σ\)の式を因数分解するコツはこちら 色々な数列の和の求め方はこちら 各項が足し算で増えている数列の一般項\(a_n\)は等差数列の和を使おう \(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\)…のように各項が足し算で増えているような問題はとても複雑に見えますが、実はとても単純です \(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\)…を例題として考えてみましょう 第4項を見てみると、\...
場合の数と確率

最短経路の確率なのに同じものを含む順列でなぜ解かない？反復試行の確率を使う理由

碁盤の目の最短経路に関する場合の数や確率の問題は、同じものを含む順列を使うと答えを求められます しかし、確率の問題の中には同じものを含む順列ではなく「反復試行の確率」を使って解くものがあります 同じ碁盤の目の最短経路に関する確率の問題なのに、なぜ解き方が違うのでしょうか　 その理由は、問題文の中の「ある一言」にあります では、反復試行の確率を使って解く最短経路の問題を、例題を使って説明していきます 碁盤の目の道路の最短経路の問題 【例題】図のような碁盤の目の道路がある。いま、A地点にいる人が、B地点まで最短距離で向かうとする。ただし、2通りの選び方のある交差点では、どちらを選ぶかは\(\frac{1}{2}\)の確率とする。このとき、C地点を通る確率を求めよ。 よくある間違い この問題のよくある間違いは、同じものを含む順列を使って解いてしまうことです 以下に間違いを書...