よく出題される少し複雑な因数分解・その①\begin{align}(a+b)(b+c)(c+a)+abc\end{align}

問題集やテスト、模試、入試…と因数分解は様々な場面で出題されます

今回は非常によく出題される、少し複雑な因数分解の問題を3問、説明していきます

説明に使用する例題は以下の3問です

よく出題される少し複雑な因数分解・3問\begin{align}&①(a+b)(b+c)(c+a)+abc\\&②a^2(b−c)+b^2(c−a)+c^2(a−c)\\&③(x+1)(x−1)(x−3)(x−5)+12\end{align}

今回は上記3つの問題のうち、①を解説します

よく出題される少し複雑な因数分解\begin{align}①(a+b)(b+c)(c+a)+abc\end{align}

まず第1問\begin{align}(a+b)(b+c)(c+a)+abc\end{align}

この問題は、まず初めに前半3つのカッコを展開し、\(a、b、c \)のうちどれか好きな文字に着目して同類項をまとめるところから始めます

文章で読んでもわかりにくいですよね。。。では実際に展開して同類項をまとめてみます

今回は\(a\)に着目します。。。\(a\)にする理由は特にありません。。。どの文字に着目しても必ず答えは求められますが、強いて言うならば、\(a\)に着目しておけば模範解答の解説と同じ形になる可能性が高いからです。。。模範解答と同じならば、計算ミスなどがあった場合に、間違ったところが見つけやすくなる…という程度の理由です

では計算していきますね

まずは\(a\)に着目し展開、同類項をまとめる

あとで同類項をまとめやすくするために、展開するとき少し工夫します

最初の展開は、1つ目と3つ目のカッコを使います。。。さらに、計算ミスを防ぐために3つ目のカッコの中の\(a\)と\(c\)を入れ替えておきます

\begin{align}&(a+b)(b+c)(c+a)+abc\\=&(a+b)(a+c)✕(b+c)+abc\\=&(a^2+\color{blue}{ac+ab}+bc)✕(b+c)+abc\end{align}

ここで次の展開を行う前に、先に現時点での同類項をまとめてしまいます。。。現時点での同類項は上記の青い部分、\(\color{blue}{(ac+ab)}\)です

先に同類項をまとめるとややこしくなるんじゃない！？と思うかもしれませんが、騙されたと思ってやってみてください。。。絶対に先にまとめておくほうが簡単です

\begin{align}&(a+b)(b+c)(c+a)+abc\\=&(a+b)(a+c)✕(b+c)+abc\\=&(a^2+ac+ab+bc)✕(b+c)+abc\\=&\left\{a^2+\color{blue}{(b+c)a}+bc\right\}(b+c)+abc\end{align}

これで現時点での同類項をまとめ終えました。。。さらに続きを展開していきます、が、ここでも展開の方法を工夫します

\begin{align}&\left\{a^2+(b+c)a+bc\right\}(b+c)+abc\\=&(b+c)a^2+(b+c)・(b+c)a+(b+c)bc+abc\\=&(b+c)a^2+(b+c)^2a+(b+c)bc+abc\end{align}

展開するときに\(a^2b+a^2c+……\)とせず、わざと\((b+c)a^2+……\)としました

\(a^2b+a^2c+……\)としても答えは求められますが、結局はもう一度同類項をまとめて\((b+c)a^2+……\)の形にしなければなりません

しかも\(a^2b+a^2c+……\)としてしまうと式が複雑になりすぎて、もう一度同類項をまとめて\((b+c)a^2+……\)の形にすることが困難になります

したがって、上記のように工夫した形で展開しましょう

さらに同類項をまとめよう

\((b+c)a^2+(b+c)^2a+(b+c)bc+abc\)まで計算を終えました。。。ここからさらに同類項をまとめていきます

最後の項\(abc\)について、\(a\)に着目すると\((b+c)^2a\)と\(abc\)が同類項となるため、これらをひとつにまとめることができます

\begin{align}&(b+c)a^2+(b+c)^2a+(b+c)bc+abc\\=&(b+c)a^2+\color{blue}{(b+c)^2a}+(b+c)bc+\color{blue}{bc✕a}\\=&(b+c)a^2+\color{blue}{\left\{(b+c)^2+bc\right\}a}+(b+c)bc\end{align}

これで\(a\)に着目して同類項をまとめ終えることができました。。。あとは因数分解をするのみです

因数分解をする

\(a\)に着目し、同類項をまとめ、\((b+c)a^2+\left\{(b+c)^2+bc\right\}a+(b+c)bc\)まで計算すれば、あとは因数分解をするだけです

以下のたすき掛けを確認してください

\begin{array}{llll}\hspace{16pt}1\searrow&b+c&=&(b+c)^2&\\b+c\nearrow&bc&=& bc\\\hline&&=&(b+c)^2+bc\end{array}

これで、\(a\)の係数が\((b+c)^2+bc\)になる組み合わせがわかりましたね

この組み合わせより、因数分解は\begin{align}\left\{a+(b+c)\right\}\left\{(b+c)a+bc\right\}\end{align}

よって答えは\begin{align}(a+b+c)(ab+bc+ca)\end{align}

解き方全手順

\begin{align}&(a+b)(b+c)(c+a)+abc\\=&(a+b)(a+c)✕(b+c)+abc\\=&(a^2+\color{blue}{ac+ab}+bc)✕(b+c)+abc\\=&\left\{a^2+\color{blue}{(b+c)a}+bc\right\}(b+c)+abc\\=&(b+c)a^2+(b+c)・(b+c)a+(b+c)bc+abc\\=&(b+c)a^2+(b+c)^2a+(b+c)bc+abc\\=&(b+c)a^2+\color{blue}{(b+c)^2a}+(b+c)bc+\color{blue}{bc✕a}\\=&(b+c)a^2+\color{blue}{\left\{(b+c)^2+bc\right\}a}+(b+c)bc\\=&\left\{a+(b+c)\right\}\left\{(b+c)a+bc\right\}\\=&(a+b+c)(ab+bc+ca)\end{align}