\(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc\)の因数分解と\(a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+3abc\)の因数分解を説明します
どちらの問題も、因数分解を学習し始めた初心者にとっては難問のように感じるでしょう
しかし、展開して文字に着目して同類項をまとめなおすという基本だけで簡単に因数分解ができます
目次
\[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc\]の因数分解・\(a\)に着目して同類項をまとめる
まずは全てを展開し、\(a\)に着目して同類項をまとめなおします
どの文字に着目しても必ず答えは求められますが、\(a\)に着目しておけば模範解答の解説と同じ形になる可能性が高く、計算ミスなどがあった場合に、間違ったところが見つけやすくなります
\begin{align}&ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc\\=&\color{blue}{a^2b}+\color{green}{ab^2}+\color{pink}{b^2c}+\color{pink}{bc^2}+\color{green}{c^2a}+\color{blue}{ca^2}+\color{green}{3abc}\\=&\color{blue}{(b+c)a^2}+\color{green}{(b^2+c^2+3bc)a}+\color{pink}{b^2c+bc^2}\\=&\color{blue}{(b+c)a^2}+\color{green}{(b^2+c^2+3bc)a}+\color{pink}{(b+c)bc}\end{align}
以上で同類項をまとめ終えました
\[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc\]の因数分解・たすき掛けを有効活用して因数分解する
\(a\)に着目して同類項をまとめ、\((b+c)a^2+(b^2+c^2+3bc)a+(b+c)bc\)としたあとは、たすき掛けを利用して因数分解します
「いや、無理でしょ」って思う人もいるかも知れませんが…因数分解できます！因数分解の組み合わせもすぐ見つかります！！
かけ算して\(a^2\)の係数\((b+c)\)と定数項\((b+c)bc\)、そして、\(a\)の係数の符号がプラスになる組み合わせは、\((b+c)✕1\)と\((b+c)✕bc\)しかありません
したがって、たすき掛けは以下のどちらかが正解となります
\begin{array}{llll}\hspace{16pt}1\searrow&bc&=&\color{white}{b^2c+bc^2}&\\b+c\nearrow&b+c&=& \color{white}{b+c}\\\hline&&=&\color{white}{b^2c+bc^2+b+c}\end{array}
\begin{array}{llll}\hspace{16pt}1\searrow&b+c&=&\color{white}{b^2+2ab+c^2}&\\b+c\nearrow&bc&=& \color{white}{bc}\\\hline&&=&\color{white}{b^2+c^2+3bc}\end{array}
では、この2つを計算し、\(a\)の係数が\(+(b^2+c^2+3bc)a\)となる組み合わせはどちらなのか、正しい組み合わせを確認しましょう
\begin{array}{llll}\hspace{16pt}1\searrow&bc&=&b^2c+bc^2&\\b+c\nearrow&b+c&=& b+c\\\hline&&=&b^2c+bc^2+b+c\end{array}
\begin{array}{llll}\hspace{16pt}1\searrow&b+c&=&b^2+2ab+c^2&\\b+c\nearrow&bc&=& bc\\\hline&&=&b^2+c^2+3bc\end{array}
たすき掛けによる確認の結果、2つ目の組み合わせならば、\(a\)の係数が\(+(b^2+c^2+3bc)a\)となることがわかりました
よって、\(ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc\)の因数分解は以下の通りになります\begin{align}&ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc\\=&\color{blue}{a^2b}+\color{green}{ab^2}+\color{pink}{b^2c}+\color{pink}{bc^2}+\color{green}{c^2a}+\color{blue}{ca^2}+\color{green}{3abc}\\=&\color{blue}{(b+c)a^2}+\color{green}{(b^2+c^2+3bc)a}+\color{pink}{b^2c+bc^2}\\=&\color{blue}{(b+c)a^2}+\color{green}{(b^2+c^2+3bc)a}+\color{pink}{(b+c)bc}\\=&\left\{a+(b+c)\right\}\left\{(b+c)a+bc\right\}\\=&(a+b+c)(ab+bc+ca)\end{align}
\[a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+3abc\]の因数分解・\(a\)に着目して同類項をまとめる
この問題も、まずは展開し、\(a\)に着目して同類項をまとめなおします
ただし、\(a^2(b+c)\)はすでに\(a\)でまとまっているのでそのままにしておきます
\begin{align}&a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+3abc\\=&\color{blue}{(b+c)a^2}+\color{pink}{b^2c}+\color{green}{b^2a}+\color{green}{c^2a}+\color{pink}{c^2b}+\color{green}{3abc}\\=&\color{blue}{(b+c)a^2}+\color{green}{(b^2+c^2+3bc)a}+\color{pink}{b^2c+bc^2}\\=&\color{blue}{(b+c)a^2}+\color{green}{(b^2+c^2+3bc)a}+\color{pink}{(b+c)bc}\end{align}
これで\(a\)に着目して同類項をまとめなおすことができました
\[a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+3abc\]の因数分解・たすき掛けを有効活用して因数分解する
\(a\)に着目して同類項をまとめ、\((b+c)a^2+(b^2+c^2+3bc)a+(b+c)bc\)としたあとは、たすき掛けを利用して因数分解します
実はこの問題、同類項をまとめなおしたあとの式が、上記の問題\[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3abc\]と同じになります
よって、この問題はたすき掛けを利用することで簡単に因数分解できます
たすき掛けは以下の通りです
\begin{array}{llll}\hspace{16pt}1\searrow&b+c&=&b^2+2ab+c^2&\\b+c\nearrow&bc&=& bc\\\hline&&=&b^2+c^2+3bc\end{array}
ゆえに、\begin{align}&a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)+3abc\\=&\color{blue}{(b+c)a^2}+\color{pink}{b^2c}+\color{green}{b^2a}+\color{green}{c^2a}+\color{pink}{c^2b}+\color{green}{3abc}\\=&\color{blue}{(b+c)a^2}+\color{green}{(b^2+c^2+3bc)a}+\color{pink}{b^2c+bc^2}\\=&\color{blue}{(b+c)a^2}+\color{green}{(b^2+c^2+3bc)a}+\color{pink}{(b+c)bc}\\=&\left\{a+(b+c)\right\}\left\{(b+c)a+bc\right\}\\=&(a+b+c)(ab+bc+ca)\end{align}