最大値、最小値を求める方法の一つに「2次式で表してtとおく」がある
今回はこの方法を使って解く
またcosθやtanθが混在しているのでどちらか一つにまとめなければならない
関数f(θ)の式の最初の項がcosθなので、素直にcosθに統一するように考えよう
あとは倍角の公式や加法定理など、知ってる形に少しずつ近づけていけばOK
※cosθとtanθなので、三角関数の合成は使えないよ
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解き方の手順
解き方の手順
①\displaystyle\frac{cosθ}{tan^2θ}−\frac{1}{tan^2θcosθ}の部分をまとめてcosθだけの式にする
②cos2θを2倍角の公式を使って変形する
③cosθ=tとして2次関数にする
④平方完成して最小値を求める
⑤tをcosθに戻してθの値を求める
\displaystyle\frac{cosθ}{tan^2θ}−\frac{1}{tan^2θcosθ}を変形してcosθだけの式にしよう
まず初めに\displaystyle\frac{cosθ}{tan^2θ}−\frac{1}{tan^2θcosθ}を通分して一つにまとめよう
\begin{align}\displaystyle\&frac{cosθ}{tan^2θ}−\frac{1}{tan^2θcosθ}\\&=\frac{cos^2θ−1}{tan^2θcosθ}\\ &=\frac{−(1−cos^2θ)}{tan^2θcosθ}&\end{align}
つぎに、三角比の相互関係を利用して1−cos^2θの部分を変形しよう
sin^2θ+cos^2θ=1より
sin^2θ=1−cos^2θなので、
\\begin{align}\displaystyle&\frac{−(1−cos^2θ)}{tan^2θcosθ}\\&=\frac{−(sin^2θ)}{tan^2θcosθ}\end{align}\
\displaystyle tan^2θ=\frac{sin^2θ}{cos^2θ}より、
\\begin{align}\displaystyle&\frac{\frac{−sin^2θ}{1}}{\frac{sin^2θ･cosθ}{cos^2θ}}\\&=−\frac{\frac{sin^2θ}{1}}{\frac{sin^2θ}{cosθ}} \\&=−\frac{sin^2θcosθ}{sin^2θ}\\&=−cosθ\end{align}\
※この方法以外にも変形する方法かいくつかあります
ここまでで\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}cos2θ−cosθまで整理することができました
このあと、さらに変形して2次式になるようにします
次は2倍角の公式を使ってcos2θを変形しよう
2倍角の公式cos2θ=2cos^2θ−1より、
\begin{align}\displaystyle f(x)&=\frac{1}{2}cos2θ−cosθ\\f(x)&=\frac{1}{2}\left(2cos^2θ−1\right)−cosθ\\f(x)&=cos^2θ−\frac{1}{2}−cosθ\\f(x)&=cos^2θ−cosθ−\frac{1}{2}\end{align}
これで式が2次式になるまで整理できました
cosθ=tとして2次関数にし、最小値を求める
cosθ=tとすると、\displaystyle y=t^2−t−\frac{1}{2}
これを平方完成すれば、最小値が求められる
\begin{align}\displaystyle y&=t^2−t−\frac{1}{2}\\y&=\left(t^2−t\right)−\frac{1}{2}\\y&=\left(t−\frac{1}{2}\right)^2−\frac{3}{4}\end{align}
したがって\displaystyle t=\frac{1}{2}のとき最小値\displaystyle −\frac{3}{4}
tをcosθに戻してθの値を求めよう
\displaystyle y=\left(t−\frac{1}{2}\right)^2−\frac{3}{4}のtをcosθに戻すと
\displaystyle y=\left(cosθ−\frac{1}{2}\right)^2−\frac{3}{4}
ゆえに\displaystyle cosθ=\frac{1}{2}のとき最小値\displaystyle−\frac{3}{4}
\displaystyle 0<θ<\frac{π}{2}の範囲で\displaystyle cosθ=\frac{1}{2}となるのはθ=60°のとき
よって、最小値\displaystyle−\frac{3}{4}、θ=60°
