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  3. 「2次式で表してtとおく方法」を使って関数の最大値と最小値を求めてみよう!関数f(θ)=\frac{1}{2}cos2θ+\frac{cosθ}{tan^2θ}\\−\frac{1}{tan^2θcosθ}\displaystyle\left(0<θ<\frac{π}{2}\right)の最小値とそのときのθの値を求めよ

最大値、最小値を求める方法の一つに「2次式で表してtとおく」がある
今回はこの方法を使って解く

またcosθtanθが混在しているのでどちらか一つにまとめなければならない

関数f(θ)の式の最初の項がcosθなので、素直にcosθに統一するように考えよう

あとは倍角の公式や加法定理など、知ってる形に少しずつ近づけていけばOK
cosθtanθなので、三角関数の合成は使えないよ

解き方の手順

解き方の手順
\displaystyle\frac{cosθ}{tan^2θ}−\frac{1}{tan^2θcosθ}の部分をまとめてcosθだけの式にする
cos2θ2倍角の公式を使って変形する
cosθ=tとして2次関数にする
④平方完成して最小値を求める
tcosθに戻してθの値を求める

\displaystyle\frac{cosθ}{tan^2θ}−\frac{1}{tan^2θcosθ}を変形してcosθだけの式にしよう

まず初めに\displaystyle\frac{cosθ}{tan^2θ}−\frac{1}{tan^2θcosθ}を通分して一つにまとめよう

\begin{align}\displaystyle\&frac{cosθ}{tan^2θ}−\frac{1}{tan^2θcosθ}\\&=\frac{cos^2θ−1}{tan^2θcosθ}\\ &=\frac{−(1−cos^2θ)}{tan^2θcosθ}&\end{align}

つぎに、三角比の相互関係を利用して1−cos^2θの部分を変形しよう

sin^2θ+cos^2θ=1より
sin^2θ=1−cos^2θなので、
\\begin{align}\displaystyle&\frac{−(1−cos^2θ)}{tan^2θcosθ}\\&=\frac{−(sin^2θ)}{tan^2θcosθ}\end{align}\

\displaystyle tan^2θ=\frac{sin^2θ}{cos^2θ}より、
\\begin{align}\displaystyle&\frac{\frac{−sin^2θ}{1}}{\frac{sin^2θ・cosθ}{cos^2θ}}\\&=−\frac{\frac{sin^2θ}{1}}{\frac{sin^2θ}{cosθ}} \\&=−\frac{sin^2θcosθ}{sin^2θ}\\&=−cosθ\end{align}\

※この方法以外にも変形する方法かいくつかあります

ここまでで\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}cos2θ−cosθまで整理することができました

このあと、さらに変形して2次式になるようにします

成績アップのコツ、途テスト前は学校課題を3周解こう

次は2倍角の公式を使ってcos2θを変形しよう

2倍角の公式cos2θ=2cos^2θ−1より、
\begin{align}\displaystyle f(x)&=\frac{1}{2}cos2θ−cosθ\\f(x)&=\frac{1}{2}\left(2cos^2θ−1\right)−cosθ\\f(x)&=cos^2θ−\frac{1}{2}−cosθ\\f(x)&=cos^2θ−cosθ−\frac{1}{2}\end{align}

これで式が2次式になるまで整理できました

cosθ=tとして2次関数にし、最小値を求める

cosθ=tとすると、\displaystyle y=t^2−t−\frac{1}{2}

これを平方完成すれば、最小値が求められる

\begin{align}\displaystyle y&=t^2−t−\frac{1}{2}\\y&=\left(t^2−t\right)−\frac{1}{2}\\y&=\left(t−\frac{1}{2}\right)^2−\frac{3}{4}\end{align}

したがって\displaystyle t=\frac{1}{2}のとき最小値\displaystyle −\frac{3}{4}

tcosθに戻してθの値を求めよう

\displaystyle y=\left(t−\frac{1}{2}\right)^2−\frac{3}{4}tcosθに戻すと
\displaystyle y=\left(cosθ−\frac{1}{2}\right)^2−\frac{3}{4}

ゆえに\displaystyle cosθ=\frac{1}{2}のとき最小値\displaystyle−\frac{3}{4}

\displaystyle 0<θ<\frac{π}{2}の範囲で\displaystyle cosθ=\frac{1}{2}となるのはθ=60°のとき

よって、最小値\displaystyle−\frac{3}{4}θ=60°

サイン、コサイン、タンジェントとラジアン、三角関数の値
成績アップのコツ、解き始める前に解説を読んでも良い、解説書は先生と同じと考えよう