「1次不定方程式の整数解を全て求めよ」という問題で模範解答と自分の答えが違う、という時がありますね
中には解き方の手順は合っているのに、毎回違う答えになるという人もいるでしょう
今回は、1次不定方程式の解の正解・不正解について説明していきます
1次不定方程式の整数解の表し方は無限にある
実は「1次不定方程式の整数解を全て求めよ」という問題の模範解答は、たくさんある答えの中の1つを代表例として記載しています
そのため、問題に書かれている等式が成立する解ならば、模範解答と違う数字であっても正解としてかまいません
例えば、「\(9x+5y=1\)の整数解を全て求めよ」ならば、\(x=5k−1 ,y=−9k+2\)でも\(x=5k+4,y=−9k−7\)でも\(x=5k+9,y=−9k−16\)でも正解となり、もちろんまだまだたくさん正解があります
1次不定方程式の整数解の表し方が無限にある理由
上記のように「\(9x+5y=1\)の整数解を全て求めよ」と問われると、答えは無限にあります
なぜ無限にあるのかというと、その理由は、1次不定方程式の解の組み合わせが無限にあるからです
1次不定方程式のすべての整数解は1組の解を利用して求めます。。。無限にある解の組み合わせのうち、どの組み合わせを使って解いてもかまわないため、整数解をすべて求める問題の答えが無限に存在することになります
つまり、「1次不定方程式の整数解を全て求めよ」という問題の答え方は、整数解の組み合わせの数だけ存在することになります
自分が書いた答えが正解か不正解かを判別する方法
「1次不定方程式の整数解を全て求めよ」という問題の模範解答は、たくさんある答えの中の一つ1、つまり代表例であり、整数解の表し方は無限にあります
しかし、自分が書いた答えが模範解答と違う場合、正解としてよいのかどうか迷ってしまうこともあるでしょう
自分が書いた答えが正解かどうかがわからない時は、問題に書かれている等式が成立するかどうかを確認してください
問題が\(9x+5y=1\)ならば、\(x\)と\(y\)に求めた整数解を代入し、同類項をまとめ、計算結果が\(1\)となれば、その整数解は正解です
例えば整数解を\(x=5k−1,y=−9k+2\)とすると、\begin{align}&9(5k−1)+5(−9k+2)\\=&45k−9−45k+10\\=&−9+10\\=&1\end{align}したがって正解と判断できます
また、整数解を\(x=5k+4,y=−9k−7\)とすると、\begin{align}&9(5k+4)+5(−9k−7)\\=&45k+36−45k−35\\=&36−35\\=&1\end{align}したがってこれも正解と判断できます
問題に書かれている等式が成立すれば正解
このように、「1次不定方程式の整数解を全て求めよ」という問題は答えの表し方が無限にありますが、問題に書かれている等式が成立すれば正解です
自分が書いた答えが模範解答と違う場合は、等式が成立するかを素早く確認し、成立するならば正解なので次の問題へ進み、成立しなければどこかで間違えているので、もう一度解きなおしましょう
