６の倍数や９の倍数など…倍数の判定方法

場合の数や確率の問題で、６の倍数や９の倍数を問われたとき、その条件をすぐに思い浮かべられますか？

６の倍数になる条件

６の倍数になる条件
ある数が２の倍数かつ３の倍数であれば、その整数は６の倍数である

上記の条件に当てはまっていれば、その整数は６の倍数と言い切ることができます

もし、ある数が\(774\)ならば
\(774\)→一の位が偶数なので２の倍数かつ各位の和が\(18\)(\(7+7+4=18\))で３の倍数
よって\(774\)は６の倍数です

また、\(878\)ならば
\(878\)→一の位が偶数なので２の倍数、しかし、各位の和が\(23\)(\(8+7+8=23\))となり３の倍数ではありません
よって\(878\)は６の倍数ではありません

この条件を使うと、1〜7までの数字から異なる3つの数字を取り出し３桁の３の倍数を作ると指示された場合、和が３になる組み合わせ・和が６になる組み合わせ・和が９になる組み合わせ…と順番に考え、かつ、一の位を偶数とすれば答えを求めることができます

８の倍数になる条件
ある数の下３桁が８で割り切れれば、その整数は８の倍数である

もし、ある数が\(9712\)ならば
\(9712\)→\(712÷8=89\)
よって\(9712\)は８の倍数です

また、\(2942\)ならば
\(2942\)→\(942÷8=117…6\)よって\(2942\)は８の倍数ではありません

９の倍数になる条件
ある数の各位の和が９の倍数ならば、その整数は９の倍数である

上記の条件に当てはまっていれば、その整数は９の倍数と言い切ることができます

もし、ある数が\(2646\)ならば
\(2646\)→\(2+6+4+6=18\)
よって\(2646\)は９の倍数です

また、\(2408\)ならば
\(2408\)→\(2+4+0+8=14\)
よって\(2408\)は９の倍数ではありません

９の倍数になる条件を使って解く問題を説明します

【問題】1〜7までの数字から異なる3つの数字を取り出し３桁の整数を作るとき、その整数が９の倍数になるのは何通りでしょう

まず、取り出した３つの数字の和が９の倍数になる組み合わせだけを考えます

ここで考えた組み合わせを使って作る整数は全て９の倍数になります

ただし、組み合わせを一発で見つける方法はありませんので、地道に見つけていきましょう
※慣れれば見つけるスピードが上がるので、類題をたくさん解いて下さい

和が９になる組み合わせ
\((1,2,6)\)、\((1,3,5)\)、\((2,3,4)\)

和が１８になる組み合わせ
\((5,6,7)\)

1〜7までの数字から異なる3つの数字を取り出し、それらを足し算した答えが９の倍数になる組み合わせは上記の４つのみ

そして上記の組み合わせを使ってできる数字、例えば\((1,2,6)\)を使ってできる\(126\)や\(216\)、\(612\)などは全て９の倍数になります

そこで、次は\(1\)と\(2\)と\(6\)を使って作ることができる３桁の整数が何通りあるか考えます
３つの数字全てを使って１列に並べると３桁の整数が完成するので、並べ方を求める式は\(3!\)です

その並べ方を求める式の計算を\((1,2,6)\)〜\((5,6,7)\)までの４回行うことになります

よって、取り出した３つの整数が３の倍数になるのは
\(4×3!=24\)

答え
２４通り

場合の数や確率では、「奇数になるのは何通りですか」や「偶数になる確率を求めよ」等の問題がよく出題されます

また奇数や偶数だけでなく、３の倍数や４の倍数、５の倍数を求める問題なども見かけます

奇数や偶数、５の倍数は一の位のを場合分けして求められ、３の倍数や４の倍数になる条件もよく出題されるので覚えている人も多いでしょう

しかし、入試問題では６の倍数や８の倍数、９の倍数なども出題されます

これらは条件を覚えていなくても数学的思考を駆使して答えを求めることができますが、テストや入試は制限時間があります

理論から公式や条件を導き出すくらいの知識は必要ですが、これらを毎回行っているとその分だけ時間が余分にかかります

少しでも早く正確に解くためには暗記して使うことも大切です