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場合の数や確率で出題される3の倍数や4の倍数になる整数
場合の数や確率では、「奇数になるのは何通りですか」や「偶数になる確率を求めよ」等の問題がよく出題されます
奇数になる整数は「１の位が奇数であれば、その整数は奇数」で、偶数になる整数は「１の位が０または２の倍数ならば、その整数は偶数」となるため、あとは１の位を場合分けして計算すれば何通りとなるかを求めることができます
しかし、少し難しい問題になると「４桁の３の倍数」や「３桁の4の倍数」などの指示が出てきます
そして、偶数や奇数は小学校の頃からよく出題されているからわかるけど、３の倍数や４の倍数になる条件なんて習ってないし知らない、と思っている人もたくさんいるでしょう
３の倍数や４の倍数になる条件と条件を使った場合の数(順列や組み合わせ)の問題の解き方を説明していきます
倍数を考えるとき「割り算」で考えてはいけない
よく「３の倍数は３で割りきれるから３でわって考える」と思っている人がいます
しかしこれは、すでにある数がハッキリと分かっている場合のみ、例えば\(216\)は３の倍数ですか、または、100以下自然数の中に３の倍数はいくつありますか、というような問題でしか使えません
場合の数や確率でよく出題されるような問題、例えば、\(1〜7\)までの数字から異なる3つの数字を取り出し３桁の３の倍数を作る、というような問題では、３の倍数になっているかどうかを割り算で確認するのはかなり至難の業となります
したがって、割り算で考えるのではなく、３の倍数や４の倍数になる条件を使って問題を解いていかなければなりません
３の倍数になる条件
３の倍数になる条件
ある数の各位の和が３の倍数ならば、その整数は３の倍数である
上記の条件に当てはまっていれば、その整数は３の倍数と言い切ることができます
もし、ある数が\(123\)ならば
\(123\)→\(1+2+3=6\)
よって\(123\)は３の倍数です
また、\(1234\)ならば
\(1234\)→\(1+2+3+4=10\)
よって\(1234\)は３の倍数ではありません
この条件を使うと、\(1〜7\)までの数字から異なる3つの数字を取り出し３桁の３の倍数を作ると指示された場合、和が３になる組み合わせ・和が６になる組み合わせ・和が９になる組み合わせ…と順番に考えていくことで答えを求めることができます
３の倍数の条件の使い方
―３の倍数になるのは何通り？―
３の倍数になる条件を使って解く問題を説明します
【問題】
\(1〜7\)までの数字から異なる3つの数字を取り出し３桁の整数を作るとき、その整数が３の倍数になるのは何通りでしょう
まず、取り出した３つの数字の和が３の倍数になる組み合わせだけを考えます
ここで考えた組み合わせを使って作る整数は全て３の倍数になります
ただし、組み合わせを一発で見つける方法はありませんので、地道に見つけていきましょう
※慣れれば見つけるスピードが上がるので、類題をたくさん解いて下さい
和が３になる組み合わせ…なし
和が６になる組み合わせ
(\(1,2,3\))
和が９になる組み合わせ
(\(1,2,6\))、(\(1,3,5\))、(\(2,3,4\))
和が１２になる組み合わせ
(\(1,4,7\))、(\(1,5,6\))、(\(2,3,7\))、(\(2,4,6\))、(\(3,4,5\))
和が１５になる組み合わせ
(\(2,6,7\))、(\(3,5,7\))、(\(4,5,6\))
和が１８になる組み合わせ
(\(5,6,7\))
上記の結果より、\(1\)と\(2\)と\(3\)を使ってできる数字、例えば\(123\)や\(213\)、\(312\)などは全て３の倍数になります
そこで、次は\(1\)と\(2\)と\(3\)を使って作ることができる３桁の整数が何通りあるか考えます
３つの数字全てを使って１列に並べると３桁の整数が完成するので、並べ方を求める式は\(3!\)です
その並べ方を求める式の計算を(\(1,2,3\))〜(\(5,6,7\))までの１３回行うことになります
よって、取り出した３つの整数が３の倍数になるのは
\(13 ×3!=78\)
答え
７８通り
４の倍数になる条件
４の倍数になる条件
ある数の下２桁が４で割り切れれば、その整数は４の倍数である
上記の条件に当てはまっていれば、その整数は４の倍数と言い切ることができます
もし、ある数が\(132\)ならば
\(132\)→\(32÷4=8\)
よって\(132\)は４の倍数です
また、\(942\)ならば
\(942\)→\(42÷4=10…2\)
よって\(942\)は４の倍数ではありません
余裕が出たら６の倍数や９の倍数になる条件なども覚えよう
入試では、偶数や奇数、３の倍数、４の倍数以外にも、６の倍数や９の倍数などが出題される可能性も考えられます
偶数や奇数、３の倍数、４の倍数の条件をしっかり覚えたら、次は、６の倍数や９の倍数なども少しずつ覚えていきましょう