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  3. cosθ+2=0の続きは?0≦θ≦2πのとき、方程式2sin^2θ-3cosθ=0を解きなさい
三角関数

この問題は普通の方程式なので、特に複雑な計算をしたり、「思いつかないよ!」というような解法を使ったりはしない

しないけれども途中で大きな疑問を持ち「やっぱり数学はわからない」となっちゃいそう

疑問を解決するために以下の解法をしっかり確認しよう

解き方の手順
①三角比の相互関係を使ってcosだけの式に変形しよう
②因数分解をして方程式を解こう
③(0≦θ≦2π\)の範囲からθの値を答えよう

成績アップのコツ、問題集は3周繰り返して解こう

三角比の相互関係を使ってcosだけの式に変形しよう

この問題はsincosが混在しているので、三角比の相互関係を使ってcosだけの式に変形してから計算していく

cossinに変形するのはとてつもなく面倒なので、素直にsincosに変えよう

\begin{eqnarray}2sin^2θ-3cosθ&=&0\\2(1-cos^2θ)-3cosθ&=&0\\2-2cos^2θ-3cosθ&=&0\\2cos^2θ+3cosθ-2&=&0\end{eqnarray}

これでcosだけの式になったので次は因数分解してθの値を求めていこう

因数分解をして方程式を解こう

cosだけの式に変形したあとは、θの値を求めるために因数分解をしよう

\begin{eqnarray}2cos^2θ+3cosθ-2&=&0\\(cosθ+2)(2cosθ-1)&=&0\end{eqnarray}

因数分解ができたのでcosθの値はcosθ+2=02cosθ-1=0を解けば求められる

2cosθ-1=0の解を求める

まずは2cosθ-1=0の解を考えてみよう

2cosθ-1=0の解は

\begin{eqnarray}2cosθ-1&=&0\\2cosθ&=&1\\cosθ&=&\frac{1}{2}\end{eqnarray}

よってcosθ=\frac{1}{2}

ここで、この問題のθの範囲を確認しよう

範囲は0≦θ≦2πとなっているので、この範囲内でcosθ\frac{1}{2}となる値を考えると、

\begin{eqnarray}cos\frac{π}{3}&=&\frac{1}{2}\\cos\frac{5}{3}π&=&\frac{1}{2}\end{eqnarray}

ゆえに、θ=\frac{π}{3}θ=\frac{5}{3}π

これで2cosθ-1=0の解が求められたので、次はcosθ+2=0の解を…となるが、実はcosθ+2=0の解は求める必要がなく、これで解答は完成となる

cosθ+2=0の解は求めなくていいの?

因数分解をして2cosθ-1=0のみを解けばこの問題は完成する

でもなぜcosθ+2=0の値は求めなくていいのだろうか

結論から述べると、cosθ+2=0は解なしとなりθの値は求めることができない

したがって2cosθ-1=0θの値だけ求めればよいということになる

cosθ+2=0が解なしとなる理由

cosθ+2=0が解なしとなる理由は以下の通り

cosθ+2=0からcosθの値を計算すると

\begin{eqnarray}cosθ+2&=&0\\cosθ&=&-2\end{eqnarray}

よってcosθ=-2

ここでθの範囲を再確認しよう

θの範囲が0≦θ≦2πならばcosθの値は-1≦θ≦1である

つまり問題で指定された範囲内にcosθ=-2を満たすθの値は存在しない
値が存在しないので解なしとなり
2cosθ-1=0の値のみ計算すれば解答が完成することになる

成績アップのコツ、途テスト前は学校課題を3周解こう

答え

上記の理由より答えは

θ=\frac{π}{3}、θ=\frac{5}{3}π