任意の1次関数はどうやって表すの？$f(x)=ax^2+bx+c$が$f(0)=1$で任意の1次関数$g(x)$に対して常に $\int_0^{1} f(x)g(x)dx=0$が成り立つとき、$a$,$b$,$c$の値を求めよ

$f(x)=ax^2+bx+c$で$f(0)=1$とわかっているから$c$の値はすぐに求められる

まず$c$を求めたあとに$a$と$b$の値を求めていくが、ここからどうしていいかわからなくなる

じつは解き方はとても簡単で、$\int_0^{1} f(x)g(x)dx=0$の$f(x)$に$ax^2+bx+c$を、$g(x)$に1次関数の式を代入して計算すると答えに辿りつける

しかし、1次関数の式ははっきりと書かれておらず、「任意の1次関数$g(x)$」となっている

では任意の1次関数とはいったいどう表現したらいい？

解き方の手順
①まず$c$の値を求める
②任意の1次関数$g(x)$を考える
③$f(x)$と$g(x)$を$\int_0^{1} f(x)g(x)dx=0$に代入して計算する
④恒等式の考え方で$a$と$b$を求める式を作る
⑤$a$と$b$を求める式を解く

$f(x)=ax^2+bx+c$に$f(0)=1$を代入し、$c$の値を求めよう

$f(0)=1$つまり$f(x)=ax^2+bx+c$で$x=0$のとき$y=1$である

$f(x)=ax^2+bx+c$の$x$に$0$、$y$に$1$を代入して計算すると

$$a×0^2+b×0+c=1\\c=1$$

よって$c=1$

$c$の値が求められたら

$c$の値が求められたら、次は$a$と$b$の値を考える

$a$と$b$の値は、$\int_0^{1} f(x)g(x)dx=0$の$f(x)$に$ax^2+bx+c$を、$g(x)$に1次関数の式を代入して計算するだけで簡単に求められるが、$f(x)$が$ax^2+bx+c$とわかっているのに対し、$g(x)$はわかっていないのでこのままでは代入できない

任意の1次関数$g(x)$とは何か

実は$g(x)$はわかっていないのではなく「任意の1次関数」とわかっている

数学の世界での「任意」は「特に固定されていない」という意味合いの用語となる。「特に固定されていない」のであれば、自分の自由に決めてしまえばよい

$g(x)=2x+1$としてもいいし、$g(x)=-\frac{391}{1297}x-\frac{21}{5}$としてもこの問題の答えは求められる

今回は高校生らしく$g(x)=kx+l$として問題を解いていくことにする

$f(x)$と$g(x)$を$\int_0^{1} f(x)g(x)dx=0$に代入する

$\int_0^{1} f(x)g(x)dx=0$に$f(x)=ax^2+bx+c$と$g(x)=kx+l$、$c=1$を代入して計算すれば$a$と$b$の値が求められる

代入すると

$$\int_0^{1} (ax^2+bx+1)(kx+l)dx=0$$

この計算を $$\int_0^{1} {akx^3+(al+bk)x^2+(bl+k)x+l}dx=0$$ と展開しても答えは求められるが、途中式が非常に面倒になるので少し工夫して計算しよう

※数式は横スクロールできます

$$\int_0^{1} (ax^2+bx+c)(kx+l)dx=0$$ を工夫して計算しよう

$$\int_0^{1} (ax^2+bx+1)(kx+l)dx=0$$

この式の展開の方法を工夫して $$\int_0^{1} {kx(ax^2+bx+1)+l(ax^2+bx+1)}dx=0$$ とし、積分の計算をする

$$\begin{align}&\int_0^{1} {kx(ax^2+bx+1)+l(ax^2+bx+1)}dx=0&\\&\int_0^{1} kx(ax^2+bx+1)dx+\int_0^{1} l(ax^2+bx+1)dx=0&\\&\int_0^{1} k(ax^3+bx^2+x)dx+\int_0^{1} l(ax^2+bx+1)dx=0&\\&k×\int_0^{1} (ax^3+bx^2+x)dx+\int_0^{1} l(ax^2+bx+1)dx=0&\\&k×\left[\frac{ax^4}{4}+\frac{bx^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right]_0^1+l×\left[\frac{ax^3}{3}+\frac{bx^2}{2}+x\right]_0^1=0&\\&k×{\frac{a(1-0)}{4}+\frac{b(1-0)}{3}+\frac{(1-0)}{2}}+l×{\frac{a(1-0)}{3}+\frac{b(1-0)}{2}+(1-0)}=0&\\&k×\left(\frac{a}{4}+\frac{b}{3}+\frac{1}{2}\right)+l×\left(\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+1\right)=0&\end{align}$$

※数式は横スクロールできます

恒等式の考え方で$a$と$b$の値を求める式を作る

恒等式の考え方より、 $$k×\left(\frac{a}{4}+\frac{b}{3}+\frac{1}{2}\right)+l×\left(\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+1\right)=0$$ が成立する条件は $$\left(\frac{a}{4}+\frac{b}{3}+\frac{1}{2}\right)=0\\かつ\\\left(\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+1\right)=0$$ のとき

※$k=0$、$l=0$でも成立するが、$a$と$b$の値が求められなくなる

よって$a$と$b$の値を求める式は下記のような連立方程式になる

$$\left\{\array{\frac{a}{4}+\frac{b}{3}+\frac{1}{2}=0\\\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+1=0}\right.$$

※数式は横スクロールできます

式を解いて$a$と$b$を求めよう

あとは作った連立方程式を解くだけ

$$\left\{\array{\frac{a}{4}+\frac{b}{3}+\frac{1}{2}=0\\\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+1=0}\right.$$

これを解くと$a＝6$、$b=-6$

答え

答え$a＝6$、$b=-6$、(c＝1)