\(t=\frac{α}{β}\)のままでは\(t\)の値を求められないので変形する
\(β=▲\)の形に変形するのは手間なので、素直に\(α=●\)の形にする
変形して元の式に代入後、2次方程式の形になるまで式を整理することがポイント
解き方の手順
①\(t=\frac{α}{β}\)を\(α=●\)の形に変形する
②変形して求めた\(α\)の値を等式\((α^2+3αβ)^2−9β^4=0\)に代入する
③式を整理する(2次方程式になる)
④因数分解して\(t\)の値を求める
目次
まずは\(t=\frac{α}{β}\)を変形しよう
\(t=\frac{α}{β}\)より\(α=tβ\)と変形できる
\(α=tβ\)を等式\((α^2+3αβ)^2−9β^4=0\)に代入して式を整理する
\(\{(tβ)^2+3(tβ)β\}^2−9β^4=0\)
\(\{(tβ)^2+3tβ^2\}^2−9β^4=0\)
\((tβ)^4+2(tβ)^2×3tβ^2+9(tβ^2)^2−9β^4=0\)
\(t^4β^4+6t^3β^4+9t^2β^4−9β^4=0\)
\((t^4+6t^3+9t^2−9)β^4=0\)
\(\{(t^2+3t)^2−9\}β^4=0\)
\((t^2+3t)^2−9=0\)
2次方程式になったので、因数分解して\(t\)の値を求める
\((t^2+3t)^2−9=0\)
\((t^2+3t+3)(t+3t−3)=0\)
よって、
\(t^2+3t+3=0\)…A
\(t^2+3t−3=0\)…B
A
\(t=\frac{−3±\sqrt{9−4×1×3}}{2}\)
\(t=\frac{−3±\sqrt{−3}}{2}\)
\(t=\frac{−3±\sqrt{3}i}{2}\)
B
\(t=\frac{−3±\sqrt{9−4×1×(−3)}}{2}\)
\(t=\frac{−3±\sqrt{21}}{2}\)
よって、\(t\)の値は
\(t=\frac{−3±\sqrt{3}i}{2}\),\(t=\frac{−3±\sqrt{21}}{2}\)