三角関数の合成を使いかたを覚えよう$0≦x＜2π$のとき$y=sinx+\sqrt{3}cosx$の最大値と最小値を求めよ

問題を解く手順
①三角関数の合成をする
②範囲を確認する
③最大値と最小値を見つける

まず最初に三角関数の合成をする

1つの式の中に$sin$と$cos$があるので三角関数の合成を行い、$sin$だけの式にすると続きを考えやすくなるよ

「三角関数の合成」の方法

この合成の式に当てはめて計算すると…

$$\begin{eqnarray}y&=&\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}sin(x+\frac{π}{3})\\y&=&2sin(x+\frac{π}{3})\end{eqnarray}$$

よって、合成後の式は$y=2sin(x+\frac{π}{3})$となる

最大値と最小値を考える前に範囲を確認しよう

この問題は$x$の範囲が$0≦x＜2π$となっているけれど、合成後の式を見てみると$x+\frac{π}{3}$となっているので、そのまま考えるより、あらかじめ$x$から$\frac{π}{3}$だけずらしてから考えるほうが解きやすくなる

$x$の範囲を$\frac{π}{3}$だけずらそう

$x$の範囲$0≦x＜2π$に$\frac{π}{3}$を加えよう

$$\begin{eqnarray}0+\frac{π}{3}&≦&x+\frac{π}{3}＜2π+\frac{π}{3}\\\frac{π}{3}&≦&x+\frac{π}{3}＜\frac{7}{3}π\end{eqnarray}$$

あとは$\frac{π}{3}≦x+\frac{π}{3}＜\frac{7}{3}π$の範囲で$y$の最大値と最小値を探すだけ

$\frac{π}{3}≦x+\frac{π}{3}＜\frac{7}{3}π$の範囲で$y=2sin(x+\frac{π}{3})$の最大値と最小値を探そう

まずは最大値

$\frac{π}{3}≦x+\frac{π}{3}＜\frac{7}{3}π$の範囲で$y$の値が最大になるのは$\frac{π}{2}$のときで、その値は$1$

つぎに最小値

$\frac{π}{3}≦x+\frac{π}{3}＜\frac{7}{3}π$の範囲で$y$の値が最大になるのは$\frac{3}{2}π$のときで、その値は$-1$

さらに、$y=2sin(x+\frac{π}{3})$は$sin$が2倍されているので、求めた値を2倍しなければならない

最大値と最小値を2倍すると
$x+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$のとき最大値$2$
$x+\frac{π}{3}=\frac{3}{2}π$のとき最小値$-2$

まだ答えじゃない
$\frac{π}{3}$加えた分を元に戻そう

上記の値は$x$の範囲$0≦x＜2π$に$\frac{π}{3}$を加えて求めたものなので、答えを書くときは元の範囲に戻す必要がある

よって求める最大値と最小値は以下のようになる

最大値
$$\begin{eqnarray}x+\frac{π}{3}&=&\frac{π}{2}\\x&=&\frac{π}{2}-\frac{π}{3}\\x&=&\frac{π}{6}\end{eqnarray}$$

ゆえに$x=\frac{π}{6}$のとき最大値$2$

最小値
$$\begin{eqnarray}x+\frac{π}{3}&=&\frac{3}{2}π\\x&=&\frac{3}{2}π-\frac{π}{3}\\x&=&\frac{7}{6}π\end{eqnarray}$$

ゆえに$x=\frac{7}{6}π$のとき最小値$-2$

答え

ここまで計算してようやく答えを書くことができる

答え
$x=\frac{π}{6}$のとき最大値$2$
$x=\frac{7}{6}π$のとき最小値$-2$